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Tutorium Mathematik 3
Laplace - Transformation - Lösungen
Aufgabe 2.1 Nachfolgend für t ≥ 0 definierte Funktionen haben für t < 0 den Funktionswert f(t) = 0. Transformieren Sie mit der Tabelle in den Bildbereich der Laplace-Transformation! ![]() ![]() 2.1.1. f(t)=4e^(-3t) ->F(s)=4/(s+3) 2.1.2. f(t)=1+2t+t^2 ->F(s)=1/s+2/s^2+2/s^3 2.1.3. f(t)=(1+2t+t^2)e^(-2t) ->F(s)=1/(s+2)+2/(s+2)^2+2/(s+2)^3 2.1.4. f(t)=e^t+e^(-t) ->F(s)=1/(s-1)+1/(s+1) ->F(s)=2s/(s^2-1) 2.1.5. f(t)=1/2(e^t-e^(-t)) (=sinh(t)) ->F(s)=1/2((1/(s-1)-1/(s+1)) ->F(s)=1/2((2/(s^2-1)) ->F(s)=1/(s^2-1) 2.1.6. f(t)=sin(2t)+3cos(2t) ->F(s)=2/(s^2+4)+3s/(s^2+4)=(2+3s)/(s^2+4) 2.1.7. f(t)=e^(-4t)[sin(2t)+3cos(2t)] ->F(s)=(2/(s+4^2+4))+(3(s+4)/((s+4)^2+4))=(3s+14)/(s^2+8s+20) Aufgabe 2.2 Berechnen Sie die Bildfunktion unter Verwendung des Integrals, welches die Laplace-Transformation definiert. ![]() ![]() ![]() 2.2.1. f(t)= (0; t<0) (2; 0<t<2π) (2cos(3t), 2π<t) F(s)=∫f(t)e^(-stdt wobei ∫ von 0 bis ∞ =lim∫(von 0 bis 2π)2e^(-st)dt+∫(von 2π bis b)2cos(3t)e^(-st)dt =lim(((-2/s)e^(-st))(von 0 bis 2π)+(2/(s^2+9)e^(-st)(3sin(3t)-scos(3t)))von 2π bis b) =(-2/s)e^(-2πs)-(2/s)e^0+lim(von b bis ∞)(2/(s^2+9)(3sin(3b)e^(-sb)-scos(3b)e^(-sb)-3sin(3*2π)e^(-2πs)-scos(3*2π)e^(-2πs)) =(-2/s)e^(-2πs)-2/s-(2se^(-2πs))/(s^2+9) 2.2.2. f(t)= (0, t<0) (A, 0<t<3) (Ae^(-t-3), 3<t) F(s)=∫f(t)e^(-st)dt wobei ∫ von 0 bis ∞ =lim∫Adt+∫Ae^(-t+3)e^(-st)dt=lim∫Adt+∫Ae^(-t(s+1)+1)dt =lim(((-A/s)e^(-st)+(-A/(s+1)e^(-t(s+1)+3))von 3 bis b =lim((-A/s)e^(-3s)+(A/s)e^0-A/(s+1)e^(-b(s+1)+3)+A/(s+1)e^(-3(s+1)+3)) =lim((-A/s)e^(-3s)+A/s-A/(s+1)e^(-b(s+1)+3)+A/(s+1)e^(-3s) =(-A/s)e^(-3s)+A/s+A/(s+1)e^(-3s) Aufgabe 2.3 Transformieren Sie mit der Tabelle der Laplace-Korrespondenzen vom Bild- in den Zeitbereich. Falls nötig, zerlegen Sie die Ausdrücke zunächst in Partialbrüche. ![]() Zählervergleich: 2 = A(s-2) + B(s+2) 1. Weg: Nullstellen einsetzen: s = 2--> 2 = 4B s = -2-->2 = -4A ![]() ![]() Zählervergleich: s = A(s-2) + B(s+2) 1. Weg: Nullstellen einsetzen s = 2 -->2 = 4B s = -2 -->-2 = -4B ![]() ![]() 1. Weg: Partialbruchzerlegung: ![]() Zählervergleich: ![]() 2. Weg: Differentationsregel ![]() ![]() ![]() 1. Weg: Partialbruchzerlegung: ![]() Zählervergleich: ![]() 2. Weg: Differentationsregel: ![]() ![]() 1. Weg: Partialbruchzerlegung: ![]() Zählervergleich: ![]() 2. Weg: Differentationsregel: ![]() ![]() Der Nenner hat konjugiert komplexe Nullstellen. Deshalb ist quadratische Ergänzung zweckmäßiger als Partialbruchzerlegung. ![]() ![]() Wie in 3.12 wird auch hier die quadratische Ergänzung benutzt ![]() ![]() Wie in 3.12 wird auch hier die quadratische Ergänzung benutzt ![]() Aufgabe 2.4 Führen Sie die Partialbruchzerlegung durch und transformieren Sie danach in den Zeitbereich. ![]() Zählervergleich: 1 = A (s+1) + Bs ![]() ![]() ![]() Nullstellen einsetzen: s = -1 --> -1 = A s = -2 --> -2 = -C Koeffizienten - Vergleich: ![]() ![]() Zählervergleich: s = A(s²+2) + (Bs+C)(s+1) Nullstellen einsetzen: s = -1 --> -1 = 3A ![]() ![]() Nullstellen einsetzen: s = 1--> 5 = 34A Koeffizienten - Vergleich: ![]() Aufgabe 2.5 Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben mit der Laplace-Transformation. ![]() Nullstellen einsetzen: ![]() ![]() ![]() Zählervergleich: 3 = A(s+1)(s-5) + B(s-2)(s-5)+C(s-2)(s+1) Nullstellen einsetzen: ![]() ![]() Nullstellen einsetzen: s = 5 --> 3 = 204D s = -1 --> 3 = -60C Koeffizienten - Vergleich: ![]() ![]() Nullstellen einsetzen: s = 5 --> 5 = 246D s = -1 --> -1 = -102C Koeffizienten - Vergleich: ![]() ![]() Zählervergleich: 7 = As(s-5)+Bs(s+1)+C(s+1)(s-5) Nullstellen einsetzen: ![]() ![]() Nullstellen einsetzen: s = 5 --> 2 = 750B s = -1 --> 2 = 6A s = 0 --> 2 = -5E Koeffizienten - Vergleich: ![]() ![]() Koeffizienten - Vergleich: ![]() ![]() Nullstellen einsetzen: s = -3 --> 32 = -18B s = -1 --> 4 = 2A s = 0 --> 2 = 3D Achtung !!! Die zweite Anfangsbedingung y(0) = 0 wird nicht erfüllt. Überzeugen Sie sich davon, indem Sie die erste Ableitung von y bilden und t = 0 einsetzen. Für die spezielle Lösung einer DGL 1. Ordnung ist i.a. nur eine Zusatzbedingung notwendig. Weitere Bedingungen könnten dann nur rein zufällig auch erfüllt sein, was aber hier nicht zutrifft. ![]() ![]() Achtung !!! Wie in 2.5.9 ist die Anfangsbedingung y(0) = 0 nicht erfüllt ! ![]() Zählervergleich: ![]() Aufgabe 2.6 Transformieren Sie in den Zeitbereich unter Verwendung der Faltungsregel! ![]() ![]() |
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