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aktuelles Dokument: TutoriumMathe3L9
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Tutorium Mathematik 3

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Laplace - Transformation - Lösungen


Aufgabe 2.1

Nachfolgend für t ≥ 0 definierte Funktionen haben für t < 0 den Funktionswert f(t) = 0. Transformieren Sie mit der Tabelle
in den Bildbereich der Laplace-Transformation!

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Tranformation1.jpg)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation2.jpg)




































Aufgabe 2.2

Berechnen Sie die Bildfunktion unter Verwendung des Integrals, welches die Laplace-Transformation definiert.

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation3.jpg)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation4.jpg)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation5.jpg)



















































Aufgabe 2.3

Transformieren Sie mit der Tabelle der Laplace-Korrespondenzen vom Bild- in den Zeitbereich. Falls nötig, zerlegen Sie die Ausdrücke zunächst in Partialbrüche.

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation6.jpg)

























Zählervergleich:
2 = A(s-2) + B(s+2)

1. Weg: Nullstellen einsetzen:
s = 2--> 2 = 4B
s = -2-->2 = -4A

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation7.jpg)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation8.jpg)





































Zählervergleich:
s = A(s-2) + B(s+2)

1. Weg: Nullstellen einsetzen
s = 2 -->2 = 4B
s = -2 -->-2 = -4B

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation9.jpg)
























 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation10.jpg)





1. Weg: Partialbruchzerlegung:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation12.jpg)




Zählervergleich:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation13.jpg)









2. Weg: Differentationsregel

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation14.jpg)











 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation15.jpg)










 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation16.jpg)




1. Weg: Partialbruchzerlegung:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation17.jpg)







Zählervergleich:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation18.jpg)















2. Weg: Differentationsregel:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation19.jpg)












 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation20.jpg)




1. Weg: Partialbruchzerlegung:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation21.jpg)






Zählervergleich:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation22.jpg)















2. Weg: Differentationsregel:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation23.jpg)













 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation24.jpg)







Der Nenner hat konjugiert komplexe Nullstellen. Deshalb ist quadratische Ergänzung zweckmäßiger als Partialbruchzerlegung.

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation25.jpg)







 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation26.jpg)




Wie in 3.12 wird auch hier die quadratische Ergänzung benutzt

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation27.jpg)
















 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation28.jpg)



Wie in 3.12 wird auch hier die quadratische Ergänzung benutzt

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation29.jpg)
















Aufgabe 2.4

Führen Sie die Partialbruchzerlegung durch und transformieren Sie danach in den Zeitbereich.
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation30.jpg)










Zählervergleich:
1 = A (s+1) + Bs


 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation31.jpg)












 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation32.jpg)























 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation33.jpg)
















Nullstellen einsetzen:

s = -1 --> -1 = A
s = -2 --> -2 = -C

Koeffizienten - Vergleich:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation34.jpg)








 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation35.jpg)











Zählervergleich:
s = A(s²+2) + (Bs+C)(s+1)

Nullstellen einsetzen:
s = -1 --> -1 = 3A

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation36.jpg)











 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation37.jpg)
























Nullstellen einsetzen:
s = 1--> 5 = 34A


Koeffizienten - Vergleich:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation38.jpg)





















Aufgabe 2.5

Lösen Sie folgende Anfangswertaufgaben mit der Laplace-Transformation.

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation39.jpg)



















Nullstellen einsetzen:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation40.jpg)











 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation41.jpg)




 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation42.jpg)




































Zählervergleich:
3 = A(s+1)(s-5) + B(s-2)(s-5)+C(s-2)(s+1)

Nullstellen einsetzen:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation43.jpg)











 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation44.jpg)

























Nullstellen einsetzen:
s = 5 --> 3 = 204D
s = -1 --> 3 = -60C

Koeffizienten - Vergleich:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation45.jpg)



 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation46.jpg)







































Nullstellen einsetzen:
s = 5 --> 5 = 246D
s = -1 --> -1 = -102C

Koeffizienten - Vergleich:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation47.jpg)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation48.jpg)







































Zählervergleich:
7 = As(s-5)+Bs(s+1)+C(s+1)(s-5)

Nullstellen einsetzen:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation49.jpg)
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation50.jpg)





































Nullstellen einsetzen:

s = 5 --> 2 = 750B
s = -1 --> 2 = 6A
s = 0 --> 2 = -5E

Koeffizienten - Vergleich:

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation51.jpg)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation52.jpg)




































Koeffizienten - Vergleich:
 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation53.jpg)

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation54.jpg)
















































Nullstellen einsetzen:
s = -3 --> 32 = -18B
s = -1 --> 4 = 2A
s = 0 --> 2 = 3D

Achtung !!!
Die zweite Anfangsbedingung y(0) = 0 wird nicht erfüllt. Überzeugen Sie sich davon, indem Sie die erste Ableitung von y bilden und t = 0 einsetzen.
Für die spezielle Lösung einer DGL 1. Ordnung ist i.a. nur eine Zusatzbedingung notwendig. Weitere Bedingungen könnten dann nur rein zufällig auch erfüllt sein, was aber hier nicht zutrifft.


 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/TutoriumMathe3L9/Transformation55.jpg)





PDF Dokument Lösungen Laplace - Transformation


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