HINWEIS

Das hier angebotene Skript kann und soll in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen! Es dient lediglich zur Veranschaulichung; soll zu einigen Thematiken Tipps und Hilfestellungen geben und Ihnen helfen wichtige Zusammenhänge besser nachvollziehen zu können

Vorlesungsskript Physik II

1. Wellen

1. Eindimensionale Wellen:

Defintion Welle: Eine Welle ist eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes

Es gibt zwei Möglichkeiten eindimensionaler Wellen sich auszubreiten:

- 1. Transversalwelle:



[Abbildung 1a; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif]

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- 2. Longitudinalwelle:



[Abbildung 1b; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif]

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Die Amplitude u und die Wellenlänge λ:

Macht man eine Momentaufnahme einer Welle, zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0, lässt sich die Welle wie in der Abbildung 2 darstellen.
In dieser Aufnahme können wir nun die Amplitude und Wellenlänge λ sehr einfach einzeichnen und ablesen:



[Abbildung 2, Quelle: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif]



Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel Geschwindigkeit = Strecke/Zeit , also v = s/t können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge λ und der Periode T schließen.

So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c:

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1. Beispiel:
Berechnung einer Wellenlänge einer Schallwelle

Geg.: f = 435 s^-1, c = 340 m/s

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Wellenfront, Phase und das Huygensche Prinzip:

Auch in unserem Alltag sind wir praktisch zu jeder Zeit von Wellen umgeben; sei es das Licht, der Schall oder auch beispielsweise Mikrowellen. Diese breiten sich -wie bereits oben beschrieben- auf zwei Arten aus. Doch nicht nur das Verhältnis von Ausbreitungsrichtung zur Schwingungsrichtung bestimmt eine Welle.

Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig um den "Einschlagort" ausbreiten werden.
Diese Form der Ausbreitung nennt man Kugelwellen (siehe Abbildung 2b).

Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden.
Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier ebene Wellen (siehe Abbildung 2a).

Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. An bestimmten Stellen werden durch diese Überlagerung Wellenfronten ausgebildet.


Wellenfront: 3-Dimensionale Fläche, die alle Punkte gleicher Phase miteinander verbindet.



Nach dem Huygenschen Prinzipes bilden sich kreisförmige- und ebene Wellen wie folgt aus:





[Abbildung 3, Quelle: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png]

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Zur mathematischen Beschreibung von Wellen sind mehrere Größen nötig.
Dazu zählen unter anderem Amplitude, Phase, Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit und auch die Wellenzahl k.

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[Abbildung 4]

Einführung der Wellenzahl k:

Wir definieren: die Wellenzahl k = 2 π / λ

→ λ = 2 π / k

mit ω = 2 π * f , (das wir umstellen zu f = ω / 2 π) und c = λ * f erhalten wir: c = (2π / k) * (ω / 2π)
→ c = ω / k

umgestellt ergibt sich also für die Wellenzahl k = ω / c.

daraus folgt für die allgemeine Wellengleichung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t:

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2. Beispiel:
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 π * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + π / 6) beschrieben.

Gesucht:
Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c

Gegeben:
u(x,t) = 30mm * sin (2 π * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + π / 6) → u(x,t) = 30mm * sin (2 π* t / 0.3s) - (2 π* x / 0.1m) + π / 6)


Vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = u₀*sin (ω*t - k*x + φ₀), sehen wir:

• u₀ = 30mm

• ω = 2π / T = 2π / 0.3s → T = 0.3s

• k = 2π / λ = 2π / 0.1m → λ = 0.1m

• φ = π / 6

Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = λ / T ist,

⇒ c = 0.1m / 0.3s = 0.333m/s

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Herleitung der Differentialgleichung einer 1-Dimensionalen Welle:

Wir wollen die Differentialgleichung einer eindimensionalen Welle herleiten und beginnen mit der allgemeinen Wellengleichung, die sich aus folgenden Komponenten zusammensetzt:

• u₀ = Amplitude

• ω = Kreisfrequenz

• k = Wellenzahl

• φ = Anfangsphase

Nun leiten wir diese allgemeine Wellengleichung u(x,t) nach dem Ort x partiell ab, was mathematisch korrekt in dieser Weise dargestellt wird: ∂u/∂x.





Als nächstes leiten wir die allgemeine Wellengleichung u(x,t) nach der Zeit t partiell ab, also: ∂u/∂t.



Als letzten Schritt verbinden wir die beiden partiellen Ableitungen ∂²u/∂x² und ∂²u/∂t² in dem wir sie:

• 1. Umstellen:

• 2. Gleichsetzen:

⇒ Die differentielle 1-dimensionale Wellengleichung lautet daher: ∂²u/∂x² = ( 1 / c²) * ∂²u/∂t²

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Konstruktive und Destruktive Interferenz:

Von Interferenz spricht man, wenn zwei oder mehr Wellen aufeinenander treffen, sich durchdringen und interferieren, also sich überlagern (siehe Abbildung 4). Diese Überlagerung kann man durch das sogenannte Superpositionsprinzip beschreiben.




[Abbildung 5, "stehende Welle"; Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif]

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Beispiel 3: Anwendung des Superpositionsprinzipes:

• gleiche Amplitude u

• gleiche Frequenz f₁ = f₂

• gleiche Wellenlänge und Wellenzahl, also ω₁ = ω₂ und k₁ = k₂

• feste Phasenbeziehung Δφ = const.

→ Dadurch entsteht eine neue Wellengleichung für diese beiden interferierenden Wellen: u(x,t) = 2*u₀*cos (Δφ/2)*sin (ω*t - k*x + φ)

Die effiktive Amplitude A_eff = 2*u₀*cos (Δφ/2) bewegt sich hier also im Bereich von 0....2u₀!

Anwendung der Superposition:

[Abbildung 6]

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Bei der Überlagerung von Wellen können natürlich fast unendliche viele Möglichkeiten entstehen; nämlich je nachdem wie die Wellen aufeinander treffen, welche Frequenz sie haben ob die Phasendifferenz variiert usw.

Je nach Konstellation verhalten sich die beiden aufeinander treffenden Wellen, und die dadruch entstehende Welle, anders.
Dementsprechend können nun verschiedene Fälle je nach Wellenabschnitt eintreten:

Die Wellen können sich gegenseitig:

• verstärken,

• abschwächen

• oder sogar auslöschen.

Dabei treten zwei bemerkenswerte Grenzfälle auf:

• Grenzfall 1: Destruktive Interferenz (Auslöschung):

Ist dies der Fall, entsteht durch die Wellen u1 und u2 folgende Welle u12:



[Abbildung 7]

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Verwendete Quellen:

• Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn

• http://de.wikipedia.org/wiki/Interferenz_(Physik)

Verwendete Grafiken:

• Abbildung "Aufgepasst-Smiley": http://forum.strasse-und-schiene.de/images/smilies/merke.gif

• Abbildung 1a): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif

• Abbildung 1b): http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif

• Abbildung 2: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif

• Abbildung 3: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png

• Abbildung 5: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Standing_waves1.gif