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Das hier angebotene Skript kann und soll in keinen Fall den Gang zur Vorlesung ersetzen! Es dient lediglich zur Veranschaulichung; soll zu einigen Thematiken Tipps und Hilfestellungen geben und Ihnen helfen wichtige Zusammenhänge besser nachvollziehen zu können |
Vorlesungsskript Physik II
1. Wellen
1. Eindimensionale Wellen:
| Defintion Welle: Eine Welle ist eine räumliche Ausbreitung eines Schwingungszustandes |
Merke: Eine Welle ist eine zeitliche und räumliche Änderung einer physikalischen Größe
Es gibt zwei Möglichkeiten Eindimensionaler Wellen sich auszubreiten:
- 1. Transversalwelle:
Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (Abbildung 1a)
(z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)
(z. B.: elektromagnetische Wellen, Wasserwellen oder auch Schallwellen in Festkörpern)
[Abbildung 1a; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_transversalwelle.gif]
- 2. Longitudinalwelle:
Schwingungsrichtung parallel zur Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 1b)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
(z. B.: Schallwellen in Gasen sowie in Gasen, in manchen Fällen auch in Festkörpern)
[Abbildung 1b; Quelle: http://www.weitensfelder.at/herbert/physik-tsunamis/laser_longitudinalwelle.gif]
Die Amplitude u und die Wellenlänge λ:
Macht man eine Momentaufnahme einer Welle, zum Beispiel zum Zeitpunkt t = 0, lässt sich die Welle wie in der Abbildung 2 darstellen.
In dieser Aufnahme können wir die Aufnahme die Amplitude und Wellenlänge einzeichnen.
Die y-Achse stellt die Elongation (Auslenkung) zu einer bestimmten Zeit und Strecke dar und wird nachfolgend mit u bezeichnet.
[Abbildung 2, Quelle: http://ivvgeo.uni-muenster.de/Vorlesung/GPS_Script/Bilder/Wellen/abb_4_1_2.gif]
Aus der bereits aus dem ersten Semester bekannten Formel Geschwindigkeit = Strecke/Zeit , also v = s/t können wir auf den Zusammenhang zwischen der Ausbreitungsgeschwindigkeit c, Wellenlänge λ und der Periode T schließen.
So ergibt sich für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c:
c = λ / T bzw. c = λ* f
wobei die Frequenz f das Reziproke (Kehrwert) der Periode T, also f = 1/T ist.
1. Beispiel:
Berechnung einer Wellenlänge einer Schallwelle
λ = c/f
λ = 340 m*s/435 s
→ λ =0.78 m
Wellenfront, Phase und das Huygensche Prinzip:
Auch in unserem Alltag sind wir praktisch zu jeder Zeit von Wellen umgeben; sei es das Licht, der Schall oder auch beispielsweise Mikrowellen. Diese breiten sich -wie bereits oben beschrieben- auf zwei Arten aus. Doch nicht nur das Verhältnis von Ausbreitungsrichtung zur Schwingungsrichtung bestimmt eine Welle.
Werfen wir beispielsweise einen Stein ins Wasser, so wissen wir, dass sich die Wellen kreisförmig um den "Einschlagort" ausbreiten werden.
Diese Form der Ausbreitung nennt man Kugelwellen (siehe Abbildung 2b).
Anders verhalten sich Wellen die z.B. durch eine Lautsprechermembran erzeugt werden.
Durch die in Schwingungen versetzte Membran entsehen hier ebene Wellen (siehe Abbildung 2a).
Sowohl kreisförmige, als auch ebene Wellen entstehen durch Interferenz (Überlagerung) sogenannter Elementarwellen. An bestimmten Stellen werden durch diese Überlagerung Wellenfronten ausgebildet.
Phase: Die Phase einer Welle gibt an, in welchem Abschnitt innerhalb einer Periode sich die Welle zu einem Referenzzeitpunkt und -ort befindet. Sie legt also fest, wie groß die Auslenkung ist.
Wellenfront: 3-Dimensionale Fläche, die alle Punkte gleicher Phase miteinander verbindet.
Nach dem Huygenschen Prinzipes bilden sich kreisförmige- und ebene Wellen wie folgt aus:
Huygenssche Prinzip: Nach diesem Prinzip kann jeder Punkt einer Wellenfront (also einer Fläche gleicher Phase) als Ausgangspunkt einer elementaren Kugelwelle (auch Elementarwelle genannt) aufgefasst werden.
Diese Sekundärwelle bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit und hat die gleiche Frequenz und Phase wie die Primärwelle.
Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.
Diese Sekundärwelle bewegt sich mit der gleichen Geschwindigkeit und hat die gleiche Frequenz und Phase wie die Primärwelle.
Die Einhüllende aller Elementarwellen ergibt die Wellenfront (der Primärwelle) zu einem späteren Zeitpunkt.
Der Abstand zwischen zwei "roten Linien" entspricht jeweils einer Wellenlänge λ
[Abbildung 3, Quelle: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png]
1.1 Mathematische Beschreibung 1-dimensionaler Wellen:
Zur mathematischen Beschreibung von Wellen sind mehrere Größen nötig.
Dazu zählen unter anderem Amplitude, Phase, Ausbreitungs- oder Phasengeschwindigkeit und auch die Wellenzahl k.
Die in Schwingung versetzte Membran erzeugt eine ebene Welle die sich entlang der x-Achse (roter Pfeil) nach rechts ausbreitet. Diese
Die an x = 0 erzeugte Erregerschwingung: u (x=0, t) = u0*sin (ω*t + φ0), kommt am Ort x1 mit einer Verzögerung von Δt an.
Daraus können wir für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c folgern:
c = x/Δt, → Δt = x/c
→ u (x,t) = u0*sin (ω*(t - Δt) + φ0), mit Δt = x/c
⇒ u (x,t) = u0*sin (ω*t - (ω*x / c) + φ0)
Die an x = 0 erzeugte Erregerschwingung: u (x=0, t) = u0*sin (ω*t + φ0), kommt am Ort x1 mit einer Verzögerung von Δt an.
Daraus können wir für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c folgern:
c = x/Δt, → Δt = x/c
→ u (x,t) = u0*sin (ω*(t - Δt) + φ0), mit Δt = x/c
⇒ u (x,t) = u0*sin (ω*t - (ω*x / c) + φ0)
Einführung der Wellenzahl k:
| Wir definieren: die Wellenzahl k = 2 π / λ |
→ λ = 2 π / k
mit ω = 2 π * f , (das wir umstellen zu f = ω / 2 π) und c = λ * f erhalten wir: c = (2π / k) * (ω / 2π)
→ c = ω / k
umgestellt ergibt sich also für die Wellenzahl k = ω / c.
daraus folgt für die allgemeine Wellengleichung in Abhängingkeit vom Ort x und der Zeit t:
Wichtig: ist die Wellenzahl in der Wellengleichung:
- negativ, so verläuft die Welle nach →
- positiv, so verläuft die Welle nach ←
u(x,t) = u0*sin (ω*t - k*x + φ0)
2. Beispiel:
Eine Wasserwelle wird durch die Funktion u(x,t) = 30mm * sin (2 π * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + π / 6) beschrieben.
Gesucht:
Bestimmen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit c
Gegeben:
u(x,t) = 30mm * sin (2 π * (t / 0.3s) - (x / 0.1m) + π / 6) → u(x,t) = 30mm * sin (2 π* t / 0.3s) - (2 π* x / 0.1m) + π / 6)
Vergleichen wir diese mit der allgemeinen Wellengleichung u(x,t) = u0*sin (ω*t - k*x + φ0), sehen wir das:
- u0 = 30mm
- ω = 2π / T = 2π / 0.3s → T = 0.3s
- k = 2π / λ = 2π / 0.1m → λ = 0.1m
- φ = π / 6
Da die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = λ / T ist,
⇒ c = 0.1m / 0.3s = 0.333m/s
Herleitung der Differentialgleichung einer 1-Dimensionalen Welle:
Wir wollen die Differentialgleichung einer eindimensionalen Welle herleiten und beginnen mit der allgemeinen Wellengleichung, die sich aus folgenden Komponenten zusammensetzt:
- u0 = Amplitude
- ω = Kreisfrequenz
- k = Wellenzahl
- φ = Anfangsphase
→ u(x,t) = u0*sin (ω*t - k*x + φ0)
Nun leiten wir diese allgemeine Wellengleichung u(x,t) nach dem Ort x partiell ab, was mathematisch korrekt in dieser Weise dargestellt wird: ∂u/∂x.
Die Variable nach der abgeleitet wird ist in rot und
alle Werte die sich durch die jeweilige Ableitung geändert haben, sind in grün dargestellt
alle Werte die sich durch die jeweilige Ableitung geändert haben, sind in grün dargestellt
→ ∂u/∂x = u0*cos (ω*t - k*x + φ0) * (- k)
Die zweite Ableitung ∂2u/∂x2 ist dann:
∂2u/∂x2 = - u0*sin ((ω*t - k*x + φ0) * (- k) * (- k)
Verwendete Quellen:
- Vorlesungsmitschrift von Prof. Dr. Udo Behn
Verwendete Grafiken:
- Abbildung 3: http://psi.physik.kit.edu/img/Ausbreitung.png
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