Tutorium Mathematik 3
Lambda - Ansatz
| Geeignet für lineare homogene DGL mit konstanten reellen Koeffizienten. Normalform:  any^(n)y+...+a2y(2 Strich)+a1y'+a0y=0 Charakteristische Gleichung:  anλ^n+...+a2λ^2+a1λ+a0=0 Der Lambda-Ansatz liefert ein Polynom mit denselben Koeffizienten wie die DGL. Es hat n Lösungen, die einfach, mehrfach reell oder zumindest konjugiert komplex sein können.  einfache reelle Lösung λ->eine Teillösung y1=C1*exp(λx) k-fache reelle Lösung λ-> k Teillösung xj=Cj*e^(j-1)exp(λx); j=1,...,k 2 konjugiert komplexe Lösungen λ1,2=a+- jw -> y1,2=e^ax(A*cos(wx)+B*sin(wx) Die allgemeine Lösung der DGL ist die Summe aller Teillösungen. Beispiele:  y'+4y=0 λ+4=0 -> λ=-4->y=Ce^(-4x) y(2 Strich)+2y'+y=0 λ^2+2λ+1=0 λ1/2=-1+-√(1-1) λ1=λ2=-1 -> y=C1e^(-x)+C2xe^(-x) y(2Strich)+4y=0 λ^2+4=0 λ^2=-4 λ1,2=0+-2j -> y=Acos(2x)+Bsin(2x) y^5+9y^4+35y(3 Strich)+79y(2 Strich)+104y'+60y=0 λ^5+9λ^4+35λ^3+79λ^2+104λ+60=0 mit den Lösungen: λ1=-3 einfach reell λ2=λ3=-1doppelt reell λ4,5=-1+-2j zueinander konjugiert komplex y=C1e^(-3x)+C2e^(-x)+C3xe^(-x)+e^(-x)*C4cos(2x)+C5sin(2x)) |
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