Revision history for Mathe2L5
Additions:
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Deletions:
Additions:
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Deletions:
Additions:
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Deletions:
Additions:
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Additions:
F=3πR^2+2πRH+λ(πR^2H+2/3πR^3-V)
deltaF/deltaR=6πR+2πH+λπ(2RH+2RH^2)=0
deltaF/deltaH=2πR+λπR^2=0 ->λ=-2/R
in deltaF/deltaR:
6πR+2πH-2/Rπ(2RH+2R^2)=0 I:π
6R+2H-4H-4R=0
H=R
ZF: A0 = AHalbkugel+AZyl.Mantel+AZyl.Boden ->min
NB: V= VZylinder + VHalbkugel
aus ZF: A0=2πR^2+2πRH+πR^2
A0=πR(3R+2H)
aus NB: V=πR^2H+1/2(4/3πR^3)
V=πR^2H+(2π/3)R^3
H=V-(2π/3R^3)/(πR^2)=v/πR^2-2/3R in ZF
A0=πR(3R+2(V/πR^2-2/3R))
A0=3πR^2+2V/R-4π/3R^2=f(R)
dA0/dR=6πR-2V/R^2-8π/3R=0
(6π-8π/3)R=2V/R^2
5π/3R^3=V
R=3√(3V/5π)=rund5,759cm in NB
H=V/πR^2-2/3R=rund 5,759cm
d^2A0/dR^2=6π+4V/R^3-8π/3=rund 31,41>0 -> min
deltaF/deltaR=6πR+2πH+λπ(2RH+2RH^2)=0
deltaF/deltaH=2πR+λπR^2=0 ->λ=-2/R
in deltaF/deltaR:
6πR+2πH-2/Rπ(2RH+2R^2)=0 I:π
6R+2H-4H-4R=0
H=R
ZF: A0 = AHalbkugel+AZyl.Mantel+AZyl.Boden ->min
NB: V= VZylinder + VHalbkugel
aus ZF: A0=2πR^2+2πRH+πR^2
A0=πR(3R+2H)
aus NB: V=πR^2H+1/2(4/3πR^3)
V=πR^2H+(2π/3)R^3
H=V-(2π/3R^3)/(πR^2)=v/πR^2-2/3R in ZF
A0=πR(3R+2(V/πR^2-2/3R))
A0=3πR^2+2V/R-4π/3R^2=f(R)
dA0/dR=6πR-2V/R^2-8π/3R=0
(6π-8π/3)R=2V/R^2
5π/3R^3=V
R=3√(3V/5π)=rund5,759cm in NB
H=V/πR^2-2/3R=rund 5,759cm
d^2A0/dR^2=6π+4V/R^3-8π/3=rund 31,41>0 -> min
Additions:
ZF: VKegel = π/3*r^2*h ->max
NB: R^2=r^2+(h-R)^2
aus NB: r^2=R^2-(h-R)^2
r^2=R^2-(h^2-2hR+R^2)
r^2=2hR-h^2 in ZF
VKegel=π/3(2hR-h^2)h
VKegel=(2π/3)Rh^2-(π/3)h^3=f(h)
dVKegel/dh=(4π/3)RH-ah^2=0
(4π/3)RH=ah^2 I : h (h>0 wegen max.)
h=4/3R in NB r^2=R^2-(h-R)^2
r^2=R^2-(4/3R-R)^2
r^2=R^2-1/9R^2
r=√(8/9)R=((√2*2)/3)*R
-> r/h=√2/2=rund 0,707
d^2Kegel/dh^2=4π/3R-2πh=4π/3R-2π4/3R<0 -> max
F=1/3π*r^2*h+λ(r^2+h^2-2hR)
deltaF/delta r = 2/3π*r*h+2λr=0
-> λ=-1/3πh
deltaF/delta h = 1/3π*r^2+λ(2h-2R)=0
-> 1/3πr^2-1/3πh(2h-2R)=0 I:1/3π
-> r^2 = h(2h-2R)
mit NB gleichgesetzt: 2hR-h^2=2h^2-2hR I:h
-> 4R=3h
-> h=4/3R und r=2/3√2R
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NB: R^2=r^2+(h-R)^2
aus NB: r^2=R^2-(h-R)^2
r^2=R^2-(h^2-2hR+R^2)
r^2=2hR-h^2 in ZF
VKegel=π/3(2hR-h^2)h
VKegel=(2π/3)Rh^2-(π/3)h^3=f(h)
dVKegel/dh=(4π/3)RH-ah^2=0
(4π/3)RH=ah^2 I : h (h>0 wegen max.)
h=4/3R in NB r^2=R^2-(h-R)^2
r^2=R^2-(4/3R-R)^2
r^2=R^2-1/9R^2
r=√(8/9)R=((√2*2)/3)*R
-> r/h=√2/2=rund 0,707
d^2Kegel/dh^2=4π/3R-2πh=4π/3R-2π4/3R<0 -> max
F=1/3π*r^2*h+λ(r^2+h^2-2hR)
deltaF/delta r = 2/3π*r*h+2λr=0
-> λ=-1/3πh
deltaF/delta h = 1/3π*r^2+λ(2h-2R)=0
-> 1/3πr^2-1/3πh(2h-2R)=0 I:1/3π
-> r^2 = h(2h-2R)
mit NB gleichgesetzt: 2hR-h^2=2h^2-2hR I:h
-> 4R=3h
-> h=4/3R und r=2/3√2R
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Deletions:
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Additions:
__1. Weg:__ Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen
__2. Weg:__ Lagrange-Multiplikatoren
b) Kegel
ZF: VKegel = π/3*r^2*h -
__2. Weg:__ Lagrange-Multiplikatoren
b) Kegel
ZF: VKegel = π/3*r^2*h -
Additions:
{{files}}
Additions:
a) Zylinder
ZF: VZylinder = π*r^2*h -> max
NB: R^2 = r^2+(h/2)^2
aus NB: r^2=R^2-(h/2)^2 in ZF
VZylinder=π(R^2-(h/2)^2)h
VZylinder=πR^2h-π/4h^3=f(h)
dVZylinder/dh=πR^2-3π/4h^2=0
3π/4h^2=πR^2
h=2/√3*R in NB r^2=R^2-(h/2)^2
r^2=R^2-(3/4R^2)/2^2
r^2=R^2-1/3R^2
r=√(2/3)*R -> r/h=√2/2=0,707
d^2VZylinder/dh^2=0-(3π/2)*h<0 -> max
mit Lagrangen Multiplikatoren:
F=π*r^2*h+λ(r^2+(h/2)^2-R^2)
deltaF/delta r = 2πrh+2λ=0 ->λ=-πh
deltaF/delta h = πr^2+1/2λh=0 -> πr^2+1/2(-πh)h=0 -> r^2=h^2/2
in NB: R^2=(h/2)^2+r^2=h^2/4+h^2/2=3h^3/4 -> h=√(4/3)R und r=√(2/3)R
{{image url="Mathe1.jpg" width="450" class="center"}}
ZF: VZylinder = π*r^2*h -> max
NB: R^2 = r^2+(h/2)^2
aus NB: r^2=R^2-(h/2)^2 in ZF
VZylinder=π(R^2-(h/2)^2)h
VZylinder=πR^2h-π/4h^3=f(h)
dVZylinder/dh=πR^2-3π/4h^2=0
3π/4h^2=πR^2
h=2/√3*R in NB r^2=R^2-(h/2)^2
r^2=R^2-(3/4R^2)/2^2
r^2=R^2-1/3R^2
r=√(2/3)*R -> r/h=√2/2=0,707
d^2VZylinder/dh^2=0-(3π/2)*h<0 -> max
mit Lagrangen Multiplikatoren:
F=π*r^2*h+λ(r^2+(h/2)^2-R^2)
deltaF/delta r = 2πrh+2λ=0 ->λ=-πh
deltaF/delta h = πr^2+1/2λh=0 -> πr^2+1/2(-πh)h=0 -> r^2=h^2/2
in NB: R^2=(h/2)^2+r^2=h^2/4+h^2/2=3h^3/4 -> h=√(4/3)R und r=√(2/3)R
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Additions:
||**5.1** Eine zylindrische Blechdose (Radius R, Höhe H) ohne Deckel habe ein
Volumen von 1250 ml. Berechnen Sie die Maße der Dose, so dass die not-wendige Lötnaht möglichst kurz ist. (Gelötet wird entlang des kreisförmigen
Umfangs der Grundfläche und einmal entlang der Mantellinie der Länge H).
- Formulieren Sie Zielfunktion und Nebenbedingung
- Berechnung durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion
- Berechnung durch Lagrange-Multiplikatoren-Methode
**Lösung:**
a)
Zielfunktion: L(R,H)= 2πR+H
Nebenbedingung: g(R,H)=πR^2H-V=0
b)
Nebenbedingung nach H umstellen und in Zielfunktion einsetzen:
H=V/πR^2
L=2piR+V/πR^2=L(R)
Differenzieren der Gleichung:
dL/dR=2π-2V/πR^3=0
R^3=V/π^2=1250cm^2/π^2=126,65cm^3
R=3√126,65cm^3
R=5,022cm
H=v/πR^2=1250cm^2/π(5,022cm)^2
H=15,777cm
d^L/dR^2=6V/πR^4=(6*1250 cm^2)/(π*(5,022cm)^4)=3,75>0-> lokales Minimum
c)
F(R,H,λ)=2πR+H+λ(πR^2H-V)
FR=2π+2λπRH=0 (I)
FH=1+λπR^2=0 (II) -> λ = -1/πR^2 in (I) einsetzen
Fλ=πR^2H-V=0 (III)
-> (2π-2/πR^2)*πRH=0
2π=(2/R)*H
H=πR
V=πR^2H=πR^2πR=π^2R^3
R=3√(V/π^2)=3√(1250cm^2/π^2)=5,022 cm
H=V/πR^2 = 1250 cm^2/π(5,022cm)^2
H= 15,777 cm
**5.2** Ein zylinderförmige Dose aus Blech soll ein Volumen von V = 5000cm^3 haben.
Zu ihrer Herstellung wird zunächst ein rechteckiges Blech zur Mantelfläche zusammengebogen und entlang der Mantellinie zusammengelötet. Danach werden die kreisrunden Grund- und Deckflächen entlang des jeweiligen Kreisumfangs eingelötet.
a) Wie muss die Dose dimensioniert sein (Radius R und Höhe H), damit die Gesamtlänge L der gelöteten Linien minimal ist ?
b) Wie muss die Dose dimensioniert sein (Radius R und Höhe H), damit die Oberfläche und damit der Blechverbrauch minimal ist ?
**Lösung:**
a) Zielfunktion: L=H+4πR
Nebenbedingung: V=πR^2H
1. Weg: Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen
L=V/πR^2+4πH=L(R)
dL/dR=2V/πR^3+4π=0
4π^2R^3=2V
R^3=V/2π^2
R=3√(v/2π^2)=3√(5000 cm^3/2π^2)=6,327 cm
H=v/πR^2=39,75 cm
Wegen d^2L/dR^2=6V/πR^4>0
ist ein lokales Minimum, d.h. die gelötete Linie ist minimal mit L=39,75 cm+4π*6,327cm=119,26 cm
2. Weg: Lagrange-Multiplikatoren
F=L+λ(πR^2H-V)
F=H+4πR+λ(πR^2H-V)
FH=1+λπR^2=0 (I)
FR=4π+2λπRH=0 (II)
Fλ=πR^2H-V=0 (III)
aus (I) λ=-1/πR^2
in (II) 4π-(2πRH)/(πR^2)=0
4πR^2=2πRH
2πR=H
V=πR^2H=πR^2*2πR=2π^2R^3
R^3=V/2π^2
R=6,327cm-> H=2πR=39,75cm
Verbale (logische) Begründung für Minimum von L:
Lässt man gedanklich die Grundfläche "schrumpfen" (R -> 0), so muss H -> unendlich gehen, damit V=5000cm^3=cost bleiben kann. Lässt man stattdessen H -> 0 gehen, so muss R -> unendlich für V=const. Das bedeutet in beiden Fällen L -> unendlich. Da nur ein Extremwert für L gefunden wird, muss dieser ein Minimum sein.
b) Zielfunktion: A = 2πR^2+2πRH
Nebenbedingung: V =πR^2H
1. Weg: Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen
A= 2πR^2+2πR*V/πR^2=2πR^2+2V/R
dA/dR=4πR-2V/R^2=0
4πR^3=2V
R^3=V/2π
R=3√(V/2π)=3√(5000cm^3/2π)=9,267cm
H=V/πR^2 = (5000cm^3)/(π*(9,267cm)^2=18,534cm
Es handelt sich tatsächlich um ein Minimum für A, denn:
d^2A/dR^2=4π+4V/R^3>0
2. Weg: Lagrange-Multiplikatoren
F=2πR^2+2πRH+λ(πR^2H-V)
FR=4πR+2πH+λ2πRH=0 (I)
FH=2πR+λπR^2=0 (II)
Fλ=πR^2H-V=0 (III)
aus (II) λ=2πR/πR^2=-2/R
in (I) 4πR+2πH-(2/R)2πRH=0
4πR+2πH-4πH=0
2R=H
V=πR^2H=πR^2*2R=2πR^3
R^3=V/2π
R=3√(V/2π)
R=9,267cm -> H=2R=18,534cm
**5.3** In eine Kugel mit dem Radius R soll ein Kreiszylinder [ Kreiskegel ] einbeschrieben werden. Bestimmen Sie das Verhältnis von Grundkreisradius und Höhe, wenn das Volumen des Zylinders [ Kegels ] ein Maximum sein soll!
**5.4** Ein Körper bestehe aus einem Zylinder mit Grundfläche ( Radius R, Höhe H), auf dem als Deckfläche eine Halbkugel aufgesetzt ist. Man berechne für ein vorgegebenes Volumen V = 1000 cm³ die Werte für R und H so, dass die Oberfläche des Körpers minimal wird!
||
Volumen von 1250 ml. Berechnen Sie die Maße der Dose, so dass die not-wendige Lötnaht möglichst kurz ist. (Gelötet wird entlang des kreisförmigen
Umfangs der Grundfläche und einmal entlang der Mantellinie der Länge H).
- Formulieren Sie Zielfunktion und Nebenbedingung
- Berechnung durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion
- Berechnung durch Lagrange-Multiplikatoren-Methode
**Lösung:**
a)
Zielfunktion: L(R,H)= 2πR+H
Nebenbedingung: g(R,H)=πR^2H-V=0
b)
Nebenbedingung nach H umstellen und in Zielfunktion einsetzen:
H=V/πR^2
L=2piR+V/πR^2=L(R)
Differenzieren der Gleichung:
dL/dR=2π-2V/πR^3=0
R^3=V/π^2=1250cm^2/π^2=126,65cm^3
R=3√126,65cm^3
R=5,022cm
H=v/πR^2=1250cm^2/π(5,022cm)^2
H=15,777cm
d^L/dR^2=6V/πR^4=(6*1250 cm^2)/(π*(5,022cm)^4)=3,75>0-> lokales Minimum
c)
F(R,H,λ)=2πR+H+λ(πR^2H-V)
FR=2π+2λπRH=0 (I)
FH=1+λπR^2=0 (II) -> λ = -1/πR^2 in (I) einsetzen
Fλ=πR^2H-V=0 (III)
-> (2π-2/πR^2)*πRH=0
2π=(2/R)*H
H=πR
V=πR^2H=πR^2πR=π^2R^3
R=3√(V/π^2)=3√(1250cm^2/π^2)=5,022 cm
H=V/πR^2 = 1250 cm^2/π(5,022cm)^2
H= 15,777 cm
**5.2** Ein zylinderförmige Dose aus Blech soll ein Volumen von V = 5000cm^3 haben.
Zu ihrer Herstellung wird zunächst ein rechteckiges Blech zur Mantelfläche zusammengebogen und entlang der Mantellinie zusammengelötet. Danach werden die kreisrunden Grund- und Deckflächen entlang des jeweiligen Kreisumfangs eingelötet.
a) Wie muss die Dose dimensioniert sein (Radius R und Höhe H), damit die Gesamtlänge L der gelöteten Linien minimal ist ?
b) Wie muss die Dose dimensioniert sein (Radius R und Höhe H), damit die Oberfläche und damit der Blechverbrauch minimal ist ?
**Lösung:**
a) Zielfunktion: L=H+4πR
Nebenbedingung: V=πR^2H
1. Weg: Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen
L=V/πR^2+4πH=L(R)
dL/dR=2V/πR^3+4π=0
4π^2R^3=2V
R^3=V/2π^2
R=3√(v/2π^2)=3√(5000 cm^3/2π^2)=6,327 cm
H=v/πR^2=39,75 cm
Wegen d^2L/dR^2=6V/πR^4>0
ist ein lokales Minimum, d.h. die gelötete Linie ist minimal mit L=39,75 cm+4π*6,327cm=119,26 cm
2. Weg: Lagrange-Multiplikatoren
F=L+λ(πR^2H-V)
F=H+4πR+λ(πR^2H-V)
FH=1+λπR^2=0 (I)
FR=4π+2λπRH=0 (II)
Fλ=πR^2H-V=0 (III)
aus (I) λ=-1/πR^2
in (II) 4π-(2πRH)/(πR^2)=0
4πR^2=2πRH
2πR=H
V=πR^2H=πR^2*2πR=2π^2R^3
R^3=V/2π^2
R=6,327cm-> H=2πR=39,75cm
Verbale (logische) Begründung für Minimum von L:
Lässt man gedanklich die Grundfläche "schrumpfen" (R -> 0), so muss H -> unendlich gehen, damit V=5000cm^3=cost bleiben kann. Lässt man stattdessen H -> 0 gehen, so muss R -> unendlich für V=const. Das bedeutet in beiden Fällen L -> unendlich. Da nur ein Extremwert für L gefunden wird, muss dieser ein Minimum sein.
b) Zielfunktion: A = 2πR^2+2πRH
Nebenbedingung: V =πR^2H
1. Weg: Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen
A= 2πR^2+2πR*V/πR^2=2πR^2+2V/R
dA/dR=4πR-2V/R^2=0
4πR^3=2V
R^3=V/2π
R=3√(V/2π)=3√(5000cm^3/2π)=9,267cm
H=V/πR^2 = (5000cm^3)/(π*(9,267cm)^2=18,534cm
Es handelt sich tatsächlich um ein Minimum für A, denn:
d^2A/dR^2=4π+4V/R^3>0
2. Weg: Lagrange-Multiplikatoren
F=2πR^2+2πRH+λ(πR^2H-V)
FR=4πR+2πH+λ2πRH=0 (I)
FH=2πR+λπR^2=0 (II)
Fλ=πR^2H-V=0 (III)
aus (II) λ=2πR/πR^2=-2/R
in (I) 4πR+2πH-(2/R)2πRH=0
4πR+2πH-4πH=0
2R=H
V=πR^2H=πR^2*2R=2πR^3
R^3=V/2π
R=3√(V/2π)
R=9,267cm -> H=2R=18,534cm
**5.3** In eine Kugel mit dem Radius R soll ein Kreiszylinder [ Kreiskegel ] einbeschrieben werden. Bestimmen Sie das Verhältnis von Grundkreisradius und Höhe, wenn das Volumen des Zylinders [ Kegels ] ein Maximum sein soll!
**5.4** Ein Körper bestehe aus einem Zylinder mit Grundfläche ( Radius R, Höhe H), auf dem als Deckfläche eine Halbkugel aufgesetzt ist. Man berechne für ein vorgegebenes Volumen V = 1000 cm³ die Werte für R und H so, dass die Oberfläche des Körpers minimal wird!
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Deletions:
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{{image url="Mathe2L53.jpg" width="650" class="center"}}
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Deletions:
Additions:
===Extremwerte und Nebenbedingungen, Lagrange Multiplikatoren - Lösungen===
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{{image url="Mathe2L52.jpg" width="650" class="center"}}
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Deletions:
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