Revision history for Mathe2L4
Additions:
**4.4** Untersuchen Sie die Funktion z= f(x,y)=x^3-12x+y^2+6y+27 mittels notwendiger Kriterien auf mögliche Extrempunkte. Entscheiden Sie dann mittels weiterer Kriterien darüber, ob es sich um lokale Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt.
z=x^3-12x+y^2+6y+27
zx=3x^2-12
zy=2y+6
zxx=6x
zxy=zyx=0
Notwendig für lok. Extremwert (EW) oder Sattelpunkt (SP)
3x^2-12=0->x^2=4
->x1=2;x2=-2
2y+6=0->y1=-3
Damit kommen prinzipiell nur 2 Punkte als EW oder SP in Frage:
P1(2;-3); P2(-2;-3)
Für beide ist dann das hinreichende Kriterium für EW zu testen:
P1: 6*2*2>0 -> EW
P2: 6*(-2)*2<0->SP
Für P1 ist nun noch die Frage nach der Art des lok. EW zu beantworten:
zxx=6*2=12>0
(zyy=2>0)
->An P1 liegt ein lok. Minimum vor!
z=x^3-12x+y^2+6y+27
zx=3x^2-12
zy=2y+6
zxx=6x
zxy=zyx=0
Notwendig für lok. Extremwert (EW) oder Sattelpunkt (SP)
3x^2-12=0->x^2=4
->x1=2;x2=-2
2y+6=0->y1=-3
Damit kommen prinzipiell nur 2 Punkte als EW oder SP in Frage:
P1(2;-3); P2(-2;-3)
Für beide ist dann das hinreichende Kriterium für EW zu testen:
P1: 6*2*2>0 -> EW
P2: 6*(-2)*2<0->SP
Für P1 ist nun noch die Frage nach der Art des lok. EW zu beantworten:
zxx=6*2=12>0
(zyy=2>0)
->An P1 liegt ein lok. Minimum vor!
Additions:
aus (II): x=√y=2 ->x=2
-> in P(2;4) könnte z=f(x,y) lokale EW besitzen
zxx(P)=6>0
zyy(P) = 1/2*2*4^3/2=1/8>0
-> wenn EW, dann lokales Minimum
Dazu muss aber auch noch das Zwischenkriterium passen:
zxx*zyy>z^2xy
zxy(P)=-1/2
->6*1/8=1/4 bzw. 3/4>1/4->erfüllt
An P(2;4) existiert ein lokales Minimum
z-Wert dort: z(P)= 3*4-2*2*2+4-8*2+5
z=12-8+4-16+5=-3
Im lokalen Minimum hat die Funktion den Wert z=-3
------------------------------------
-> in P(2;4) könnte z=f(x,y) lokale EW besitzen
zxx(P)=6>0
zyy(P) = 1/2*2*4^3/2=1/8>0
-> wenn EW, dann lokales Minimum
Dazu muss aber auch noch das Zwischenkriterium passen:
zxx*zyy>z^2xy
zxy(P)=-1/2
->6*1/8=1/4 bzw. 3/4>1/4->erfüllt
An P(2;4) existiert ein lokales Minimum
z-Wert dort: z(P)= 3*4-2*2*2+4-8*2+5
z=12-8+4-16+5=-3
Im lokalen Minimum hat die Funktion den Wert z=-3
------------------------------------
Additions:
||**4.1** Untersuchen Sie die Funktion z=f(x,y) = 4x^2-31x+y^2+16x-5xy+7 mittels notwendiger und hinreichender Kriterien auf die Existenz lokaler Extrempunkte und/oder Sattelpunkte und geben Sie diese ggf. an.
**Lösung:**
zx=8x-31-5y
zy=2y+16-5x
zxx=8
zyy=2
zxy=-5
Notwendig für EW: zx=zy=0
zx=0 -> 8x-5y=31 (I)
zy=0 -> zx=0 (II)
2(I)+5(II): -9x=-18
x=2
aus (II): 2y=5x-16=10-16
2y=-6
y=-3
-> in P(2;-3) könnte z=f(x,y) lokale EW besitzen
zxx(P)=8>0
zyy(P)=2>0
->wenn EW, dann lokales Minimum
Dazu muss aber auch noch das hinreichende Kriterium passen:
zxx*zyy>z^^2xy
zxy(P)=-5
-> 8*2>25 bzw. 16>25-> falsche Aussage, hinreichendes Kriterium nicht erfüllt
z-Wert: z=16-62+9-48+30+7=16-64
z=-48
Es existiert kein EW, sondern ein Sattelpunkt an (x;y;z)=(2;-3;-48)
------------------------------
**4.2** Gegeben ist die Funktion z=f(x,y)=(x+1)ln(y-2)
Untersuchen Sie die Funktion nach lokalen Extremwerten!
zx=ln(y-2)
zx=0
y=3
zy=(x+1)/(y-2)
zy=0
x=-1
zxx=0
zxx(-1;3)=0
zyy=-(x+1)/(y-2)^2
zyy(-1;3)=0
zxy=1/(y-2)
zxy(-1;3)=1
-> (zxy)^2>zyyzxx -> Sattelpunkt an (-1;3)
-------------------------
**4.3** Untersuchen Sie folgende Funktion auf Extrem- und Sattelpunkte: z=f(x,y)=3x^2-2x√y+y-8x+5
**Lösung:**
zx=6x-2√y-8
zy=-xy^-1/2+1=-x/√y+1
zxx=6
zyy=1/2xy^-3/2= x/2√y^3
zxy=-1/√y
Notwendig für EW: zx=zy=0
zx=0
6x-2√y=8 (I)
zy=0
x=√y (II)
(II) in (I): 6√y-2√y=8
4√y=8
√y=2->y=4
||
**Lösung:**
zx=8x-31-5y
zy=2y+16-5x
zxx=8
zyy=2
zxy=-5
Notwendig für EW: zx=zy=0
zx=0 -> 8x-5y=31 (I)
zy=0 -> zx=0 (II)
2(I)+5(II): -9x=-18
x=2
aus (II): 2y=5x-16=10-16
2y=-6
y=-3
-> in P(2;-3) könnte z=f(x,y) lokale EW besitzen
zxx(P)=8>0
zyy(P)=2>0
->wenn EW, dann lokales Minimum
Dazu muss aber auch noch das hinreichende Kriterium passen:
zxx*zyy>z^^2xy
zxy(P)=-5
-> 8*2>25 bzw. 16>25-> falsche Aussage, hinreichendes Kriterium nicht erfüllt
z-Wert: z=16-62+9-48+30+7=16-64
z=-48
Es existiert kein EW, sondern ein Sattelpunkt an (x;y;z)=(2;-3;-48)
------------------------------
**4.2** Gegeben ist die Funktion z=f(x,y)=(x+1)ln(y-2)
Untersuchen Sie die Funktion nach lokalen Extremwerten!
zx=ln(y-2)
zx=0
y=3
zy=(x+1)/(y-2)
zy=0
x=-1
zxx=0
zxx(-1;3)=0
zyy=-(x+1)/(y-2)^2
zyy(-1;3)=0
zxy=1/(y-2)
zxy(-1;3)=1
-> (zxy)^2>zyyzxx -> Sattelpunkt an (-1;3)
-------------------------
**4.3** Untersuchen Sie folgende Funktion auf Extrem- und Sattelpunkte: z=f(x,y)=3x^2-2x√y+y-8x+5
**Lösung:**
zx=6x-2√y-8
zy=-xy^-1/2+1=-x/√y+1
zxx=6
zyy=1/2xy^-3/2= x/2√y^3
zxy=-1/√y
Notwendig für EW: zx=zy=0
zx=0
6x-2√y=8 (I)
zy=0
x=√y (II)
(II) in (I): 6√y-2√y=8
4√y=8
√y=2->y=4
||
Deletions:
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Deletions:
Additions:
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Deletions:
||**{{files download="Mathe2L24.pdf"text="PDF Dokument Lösungen Extremwerte und Sattelpunkte"}}**||
