Tutorium Mathematik 2
Extremwerte und Sattelpunkte von mehreren Variablen - Lösungen
| 4.1 Untersuchen Sie die Funktion z=f(x,y) = 4x^2-31x+y^2+16x-5xy+7 mittels notwendiger und hinreichender Kriterien auf die Existenz lokaler Extrempunkte und/oder Sattelpunkte und geben Sie diese ggf. an. Lösung: zx=8x-31-5y zy=2y+16-5x zxx=8 zyy=2 zxy=-5 Notwendig für EW: zx=zy=0 zx=0 -> 8x-5y=31 (I) zy=0 -> zx=0 (II) 2(I)+5(II): -9x=-18 x=2 aus (II): 2y=5x-16=10-16 2y=-6 y=-3 -> in P(2;-3) könnte z=f(x,y) lokale EW besitzen zxx(P)=8>0 zyy(P)=2>0 ->wenn EW, dann lokales Minimum Dazu muss aber auch noch das hinreichende Kriterium passen: zxx*zyy>z^^2xy zxy(P)=-5 -> 8*2>25 bzw. 16>25-> falsche Aussage, hinreichendes Kriterium nicht erfüllt z-Wert: z=16-62+9-48+30+7=16-64 z=-48 Es existiert kein EW, sondern ein Sattelpunkt an (x;y;z)=(2;-3;-48) 4.2 Gegeben ist die Funktion z=f(x,y)=(x+1)ln(y-2) Untersuchen Sie die Funktion nach lokalen Extremwerten! Lösung: zx=ln(y-2) zx=0 y=3 zy=(x+1)/(y-2) zy=0 x=-1 zxx=0 zxx(-1;3)=0 zyy=-(x+1)/(y-2)^2 zyy(-1;3)=0 zxy=1/(y-2) zxy(-1;3)=1 -> (zxy)^2>zyyzxx -> Sattelpunkt an (-1;3) 4.3 Untersuchen Sie folgende Funktion auf Extrem- und Sattelpunkte: z=f(x,y)=3x^2-2x√y+y-8x+5 Lösung: zx=6x-2√y-8 zy=-xy^-1/2+1=-x/√y+1 zxx=6 zyy=1/2xy^-3/2= x/2√y^3 zxy=-1/√y Notwendig für EW: zx=zy=0 zx=0 6x-2√y=8 (I) zy=0 x=√y (II) (II) in (I): 6√y-2√y=8 4√y=8 √y=2->y=4 aus (II): x=√y=2 ->x=2 -> in P(2;4) könnte z=f(x,y) lokale EW besitzen zxx(P)=6>0 zyy(P) = 1/2*2*4^3/2=1/8>0 -> wenn EW, dann lokales Minimum Dazu muss aber auch noch das Zwischenkriterium passen: zxx*zyy>z^2xy zxy(P)=-1/2 ->6*1/8=1/4 bzw. 3/4>1/4->erfüllt An P(2;4) existiert ein lokales Minimum z-Wert dort: z(P)= 3*4-2*2*2+4-8*2+5 z=12-8+4-16+5=-3 Im lokalen Minimum hat die Funktion den Wert z=-3 4.4 Untersuchen Sie die Funktion z= f(x,y)=x^3-12x+y^2+6y+27 mittels notwendiger Kriterien auf mögliche Extrempunkte. Entscheiden Sie dann mittels weiterer Kriterien darüber, ob es sich um lokale Minima, Maxima oder Sattelpunkte handelt. Lösung: z=x^3-12x+y^2+6y+27 zx=3x^2-12 zy=2y+6 zxx=6x zyy=2 zxy=zyx=0 Notwendig für lok. Extremwert (EW) oder Sattelpunkt (SP) zx=0 3x^2-12=0->x^2=4 ->x1=2;x2=-2 zy=0 2y+6=0->y1=-3 Damit kommen prinzipiell nur 2 Punkte als EW oder SP in Frage: P1(2;-3); P2(-2;-3) Für beide ist dann das hinreichende Kriterium für EW zu testen: P1: 6*2*2>0 -> EW P2: 6*(-2)*2<0->SP Für P1 ist nun noch die Frage nach der Art des lok. EW zu beantworten: zxx=6*2=12>0 (zyy=2>0) ->An P1 liegt ein lok. Minimum vor! |
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