Betriebswirtschaftslehre 2 - Investitionsrechnung und Finanzierung - Kapitel 2 - Finanzmathematische Grundlagen

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2.2 Finanzmathematische Grundlagen

2.1.1 Einfache Verzinsung

• Zinsen sind die Vergrößerung eines Betrages in einer bestimmten definierten Zeit, der Zinsperiode

• Maß der Verzinsung ist durch den Zinssatz gegeben

• wegen der anzutreffenden unterschiedlichen Zinszuschreibungsmodalitäten resultieren aus einem bestimmten nominellen Jahreszinssatz durchaus verschiedene s. g. effektive Jahreszinssätze

• bei Zinsrechnungen werden Zahlungen auf einen einheitlichen Zeitpunkt bezogen und zu diesem Zeitpunkt verglichen

• entweder zum Zeitpunkt t₀ oder zum Ende der Zinsvereinbarung (Zeitpunkt n), d. h. nach n Perioden

• wird im Zeitraum t₀ ein Betrag K₀ zur Verfügung gestellt, so sind die zu zahlenden Zinsen Z proportional zur Zeit t und proportional zum Kapital K₀

• der Proportionalitätsfaktor heißt Zinssatz i (Einheit % p. a.)

• Wenn die Zinsen am Ende des Zeitraumes dem Kapital zugeschlagen werden, dann beträgt das Kapital nach n Jahren:

• Ksub> = K₀ + (K₀ * i) + ... + (K₀ * i) = K₀ + (K₀ * i * n) = K₀ * (1 + i * n)

• n = Anzahl der Perioden

• i = Jahreszinssatz

• die Zinsen können auch in Abhängigkeit von der Zahl der Tage T angeben werden, wobei das Jahr im allgemeinen zur rechnerischen Vereinfachung 360 Tage gerechnet wird T = Zahl der Tage; 1 Jahr = 360 Tage

2.1.2 Zinseszinsrechnung

Jährliche Zinszuschreibung

• ein zum Zeitpunkt t₀ verfügbarer Kapitalbetrag K₀ werde zum Zinssatz i angelegt, der als Jahreszinssatz definiert ist.

• nach genau 1 Jahr und der entsprechenden Zinszuschreibung ist der Kapitalbetrag K₁ vorhanden mit

• K₁ = K₀ + i * K₀ = K₀ * (1 + i)

• nach genau 2 Jahren beträgt der vorhandene Kapitalbetrag K₂

• K₂ = K₁ + i * K₁ = K₁ * (1+i) = K₀ * (1 + i)²

• nach genau n Jahren ist der Betrag K_n vorhanden mit

• K_n = K_n-1 + i * K_n-1 = K_n-1 * (1 + i) = K₀ * (1 + i)ⁿ

• nach einer Anlagedauer von n Jahren ergibt sich ein nach dieser Zeit erzielter, zum Zeitpunkt n vorliegender Endwert E_n in Abhängigkeit von der Größe n des Betrachtungszeitraumes zu

• E_n = K_n = K₀ * (1 + i)ⁿ = K₀ * qⁿ

Beispiel:

• Bezogen auf die Geldanlage (Sparbrief) beträgt der Endwert E₂

• E₂ = K₂ = 1.000 * (1 + 0,05)² = 1.102,50

Aufzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung

• Auflösung der Zinsformel nach dem Betrag K₀ erlaubt den Vergleich der gleichwertigen Investitionssummen ⇒ Formel für den "Barwert" eines in der Zukunft fälligen Betrages:

• Bei der Abzinsung (= Diskontierung) liegt die Fragestellung zugrunde, wie viel ein Kapitalbetrag K_n, der am Ende des Jahres n anfällt, zu Beginn des Planungszeitraums wert ist.

Abzinsung in der Kaufmännischen Verzinsung


Um bei gegebenem Zinssatz i die Dauer n zu ermitteln, verwendet man folgende Beziehung:



Die Verzinsung i, die bei einer bestimmten Laufzeit n notwendig ist, um von K₀ aus K_n zu erreichen, kann folgendermaßen ermittelt werden:

Unterjährige Verzinsung

• Begriffe werden gern durcheinander gebracht!

• wenn bei Zinseszinsrechnungen der Zuschlag der angelaufenen Zinsen auf das Kapital zu mehreren Terminen gleichen Abstandes im Jahr erfolgt ⇒ unterjähriger Verzinsung

• relativen unterjährigen Zinssatz i_rel ⇒ Jahreszins i wird in so viele Teile m geteilt, wie Termine pro Jahr gesetzt sind

• Der Jahreszinssatz i ist dann nicht mehr wirksam und wird daher als nominelle Verzinsung dieses Jahres bezeichnet. Die effektive Verzinsung i_eff ergibt z. B. bei zwei Terminen pro Jahr:

• Bei m Terminen gilt:

• Dieses K_n ist größer als das entsprechende bei jährlichem Zinszuschlag.

Anwendung des relativen unterjährigen Zinssatzes i_rel ergibt gegenüber dem nominellen Zinssatz i eine höhere effektive Jahresverzinsung i_eff



Ermittlung des nominellen Zinssatzes aus der effektiven Jahresverzinsung:

Gemischte Verzinsung

• wenn der Verzinsungszeitraum nicht nur aus ganzen Berechnungsperioden (Jahren) besteht, sondern auch aus Bruchteilen davon ⇒ gemischte Verzinsung vorgenommen

• Liegen die unvollständigen Zinsperioden am Anfang und am Ende der Laufzeit, ergibt sich folgende Berechnung:

• Die Ermittlung des Barwertes K₀ ergibt sich bei gemischter Verzinsung demzufolge als:

Stetige Verzinsung

• Bei gleichem Nominalzinssatz steigt die effektive Verzinsung mit der Häufigkeit der unterjährigen Zinstermine.

• für möglichst hohe Verzinsung ⇒ sehr weitgehende Aufteilung der Zinsperiode anstreben

• K₁ wird maximal für m ⇒ ∞; m = unterjährige Zinstermine

• wenn m ⇒ ∞ gesetzt wird, dann folgt:

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