Tutorium Statistik

4. Eindimensionale stetige Zufallsvariable

Grundbegriffe: f ( x ): Dichtefunktion der Zufallsvariable x F ( x ): Verteilungsfunktion der Zufallsvariable x E ( x ): Erwartungswert der Zufallsvariable x Var ( x )=σ^2: Varianz der Zufallsvariable x P ( a ⩽ x ⩽b ): Wahrscheinlichkeit Formelsammlung: S. 51 – 52

Übungsaufgaben: (1) Eine Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion f ( x )={1/18(3+2*x), 2⩽ x ⩽ 4 ; 0, sonst. a) Überprüfen Sie, ob es sich bei der angegebenen Funktion um eine Dichtefunktion handelt. b) Man bestimme die zugehörige Verteilungsfunktion F(x). c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P1(2 ≤ X ≤ 3), P2(X < 2) und P3(2,5 ≤ X ≤ 4). d) Ermitteln Sie den Erwartungswert der Variablen x. e) Ermitteln Sie die Streuung.

Lösung a) fx( x )⩾ 0 ist erfüllt: fx(2)=7/18⩾ 0 fx(4)=11/18⩾ 0 ∫f(x)dx=1 ist erfüllt wobei ∫ von -∞ bis ∞ FS S.51 Bedingungen ∫(1/18*(3+2x))=1 wobei ∫ von 2 bis 4 ∫(1/6+1/9x)=1 [1/6x+1/18x^2] von 2 bis 4=1 2/3+8/9-1/3-2/9=1 b) F ( x )= ∫f ( v ) dv wobei ∫ von 2 bis x F ( x )= ∫f (1/6+1/9v)dv wobei ∫ von 2 bis x F(x)=[1/6v+1/18v^2] von 2 bis x F(x)=1/6x+1/18x^2-5/9 F(x)={0,für x <2 ; 1/6x+1/18x^2-5/9, für 2 ⩾ x ⩽ 4 ; 1, für x >4

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4. Eindimensionale stetige Zufallsvariablen