Revision history for ZufallsvarSS2013
Additions:
c)
P1( 2 ⩽ x ⩽3 )= 44,44 %
P2( x < 2)=0 %
P3( 2,5⩽ x ⩽4)=79,2 %
d)
E(x)=83/27=3,074
e)
Var(x)=σ^2=239/729=0,3278
√( Var ( x ) )=σ =±0,5726
||**(2)** Für die Verspätung X (in Minuten) eines Flugzeugs einer bestimmten Fluggesellschaft auf
dem Flughafen Erfurt wurde folgenden Dichtefunktion ermittelt:
f ( x )={x −√x +7/6, 0⩽ x ⩽1 ; 0, sonst.
Ermitteln Sie
a) die durchschnittliche Verspätung des Flugzeuges.
b) die Streuung
c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Verspätung zwischen 0,3 und 1,5 min beträgt.
E(x) = ∫x*f(x)dx wobei ∫ von −∞ bis ∞
E(x) = ∫x* (x-√x+7/6)dx wobei ∫ von 0 bis 1
E(x) = ∫x^2 - x^1,5 + 7/6xdx wobei ∫ von 0 bis 1
E(x) = (1/3x^3 - 2/5x^2,5 + 7/12x^2) von 0 bis 1
E(x) = 1/3-2/5+7/12-0
E(x) = 0,5167
FS S.52 Erwartungswert
Var(x) =∫x^2*f(x)dx-E(x)^2 wobei ∫ von −∞ bis ∞
Var(x) =∫x^2*(x-√x+7/6)dx-0,5167^2 wobei ∫ von 0 bis 1
Var(x) =∫(x^3-x^2,5+7/6x^2)dx-0,5167^2 wobei ∫ von 0 bis 1
Var(x) =(1/4x^4-2/7x^3,5+7/18x^3)-0,5167^2 von 0 bis 1
Var(x) =1/4-2/7+7/18-0-0,5167^2
Var ( x )=σ^2=0,0862
√(Var(x))=σ =±0,2936
FS S.52 Varianz
c)
P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=∫f ( x ) dx wobei ∫ von 0,3 bis 1
P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=∫x-√x+7/6dx wobei ∫ von 0,3 bis 1
P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=(1/2x^2-2/3x^1,5+7/6x)von 0,3 bis 1
P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=1− 0,2855
P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=71,45 %
FS S.51 Wahrscheinlichkeit
||**(3)** Weitere Übungsaufgaben:
Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät Wirtschaft im Unterordner „Statistik“.
P1( 2 ⩽ x ⩽3 )= 44,44 %
P2( x < 2)=0 %
P3( 2,5⩽ x ⩽4)=79,2 %
d)
E(x)=83/27=3,074
e)
Var(x)=σ^2=239/729=0,3278
√( Var ( x ) )=σ =±0,5726
||**(2)** Für die Verspätung X (in Minuten) eines Flugzeugs einer bestimmten Fluggesellschaft auf
dem Flughafen Erfurt wurde folgenden Dichtefunktion ermittelt:
f ( x )={x −√x +7/6, 0⩽ x ⩽1 ; 0, sonst.
Ermitteln Sie
a) die durchschnittliche Verspätung des Flugzeuges.
b) die Streuung
c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Verspätung zwischen 0,3 und 1,5 min beträgt.
E(x) = ∫x*f(x)dx wobei ∫ von −∞ bis ∞
E(x) = ∫x* (x-√x+7/6)dx wobei ∫ von 0 bis 1
E(x) = ∫x^2 - x^1,5 + 7/6xdx wobei ∫ von 0 bis 1
E(x) = (1/3x^3 - 2/5x^2,5 + 7/12x^2) von 0 bis 1
E(x) = 1/3-2/5+7/12-0
E(x) = 0,5167
FS S.52 Erwartungswert
Var(x) =∫x^2*f(x)dx-E(x)^2 wobei ∫ von −∞ bis ∞
Var(x) =∫x^2*(x-√x+7/6)dx-0,5167^2 wobei ∫ von 0 bis 1
Var(x) =∫(x^3-x^2,5+7/6x^2)dx-0,5167^2 wobei ∫ von 0 bis 1
Var(x) =(1/4x^4-2/7x^3,5+7/18x^3)-0,5167^2 von 0 bis 1
Var(x) =1/4-2/7+7/18-0-0,5167^2
Var ( x )=σ^2=0,0862
√(Var(x))=σ =±0,2936
FS S.52 Varianz
c)
P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=∫f ( x ) dx wobei ∫ von 0,3 bis 1
P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=∫x-√x+7/6dx wobei ∫ von 0,3 bis 1
P ( 0,3⩽ x ⩽1 )=(1/2x^2-2/3x^1,5+7/6x)von 0,3 bis 1
P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=1− 0,2855
P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=71,45 %
FS S.51 Wahrscheinlichkeit
||**(3)** Weitere Übungsaufgaben:
Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät Wirtschaft im Unterordner „Statistik“.
Deletions:
Die Inhalte dieses Abschnittes des Tutoriums sind verfügbar in der nachfolgenden pdf. - Datei:
{{files download="Tutorium4.VorlesungSS13.pdf"text="4. Eindimensionale stetige Zufallsvariablen"}}
Additions:
====Tutorium Statistik====
{{files}}
||**Grundbegriffe:**
f ( x ): Dichtefunktion der Zufallsvariable x
F ( x ): Verteilungsfunktion der Zufallsvariable x
E ( x ): Erwartungswert der Zufallsvariable x
Var ( x )=σ^2: Varianz der Zufallsvariable x
P ( a ⩽ x ⩽b ): Wahrscheinlichkeit
**Formelsammlung:** S. 51 – 52
||
||**Übungsaufgaben:**
**(1)** Eine Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion
f ( x )={1/18(3+2*x), 2⩽ x ⩽ 4 ; 0, sonst.
a) Überprüfen Sie, ob es sich bei der angegebenen Funktion um eine Dichtefunktion handelt.
b) Man bestimme die zugehörige Verteilungsfunktion F(x).
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P1(2 ≤ X ≤ 3), P2(X < 2) und P3(2,5 ≤ X ≤ 4).
d) Ermitteln Sie den Erwartungswert der Variablen x.
e) Ermitteln Sie die Streuung.
||
||**Lösung**
a)
fx( x )⩾ 0 ist erfüllt:
fx(2)=7/18⩾ 0
fx(4)=11/18⩾ 0
∫f(x)dx=1 ist erfüllt wobei ∫ von -∞ bis ∞
FS S.51 Bedingungen
∫(1/18*(3+2x))=1 wobei ∫ von 2 bis 4
∫(1/6+1/9x)=1
[1/6x+1/18x^2] von 2 bis 4=1
2/3+8/9-1/3-2/9=1
b)
F ( x )= ∫f ( v ) dv wobei ∫ von 2 bis x
F ( x )= ∫f (1/6+1/9v)dv wobei ∫ von 2 bis x
F(x)=[1/6v+1/18v^2] von 2 bis x
F(x)=1/6x+1/18x^2-5/9
F(x)={0,für x <2 ; 1/6x+1/18x^2-5/9, für 2 ⩾ x ⩽ 4 ; 1, für x >4
||
||**{{files download="Zufall.pdf"text="PDF Dokument Aufgaben und Lösungen"}}**||
**>>[[http://wiki.fh-sm.de/TutorienGrdlStatistikSS2013 Zurück zur Auswahl]]>>**
{{files}}
||**Grundbegriffe:**
f ( x ): Dichtefunktion der Zufallsvariable x
F ( x ): Verteilungsfunktion der Zufallsvariable x
E ( x ): Erwartungswert der Zufallsvariable x
Var ( x )=σ^2: Varianz der Zufallsvariable x
P ( a ⩽ x ⩽b ): Wahrscheinlichkeit
**Formelsammlung:** S. 51 – 52
||
||**Übungsaufgaben:**
**(1)** Eine Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion
f ( x )={1/18(3+2*x), 2⩽ x ⩽ 4 ; 0, sonst.
a) Überprüfen Sie, ob es sich bei der angegebenen Funktion um eine Dichtefunktion handelt.
b) Man bestimme die zugehörige Verteilungsfunktion F(x).
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P1(2 ≤ X ≤ 3), P2(X < 2) und P3(2,5 ≤ X ≤ 4).
d) Ermitteln Sie den Erwartungswert der Variablen x.
e) Ermitteln Sie die Streuung.
||
||**Lösung**
a)
fx( x )⩾ 0 ist erfüllt:
fx(2)=7/18⩾ 0
fx(4)=11/18⩾ 0
∫f(x)dx=1 ist erfüllt wobei ∫ von -∞ bis ∞
FS S.51 Bedingungen
∫(1/18*(3+2x))=1 wobei ∫ von 2 bis 4
∫(1/6+1/9x)=1
[1/6x+1/18x^2] von 2 bis 4=1
2/3+8/9-1/3-2/9=1
b)
F ( x )= ∫f ( v ) dv wobei ∫ von 2 bis x
F ( x )= ∫f (1/6+1/9v)dv wobei ∫ von 2 bis x
F(x)=[1/6v+1/18v^2] von 2 bis x
F(x)=1/6x+1/18x^2-5/9
F(x)={0,für x <2 ; 1/6x+1/18x^2-5/9, für 2 ⩾ x ⩽ 4 ; 1, für x >4
||
||**{{files download="Zufall.pdf"text="PDF Dokument Aufgaben und Lösungen"}}**||
**>>[[http://wiki.fh-sm.de/TutorienGrdlStatistikSS2013 Zurück zur Auswahl]]>>**
Additions:
{{files download="Tutorium4.VorlesungSS13.pdf"text="4. Eindimensionale stetige Zufallsvariablen"}}
