Revision history for TutoriumMathe3L2
Additions:
K=-(U0/R+(Cωu^)/((RCω)^2+1)
i=-e^((-1/RC))t(U0/R+(Cωu^)/((RCω)^2+1))+(Cωu^)/((RCω)^2+1)+(Cωu^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
i=-Cωu^/((RCω)^2+1)e^(-1/(RC)t)+(Cωu^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
i=u^/((RCω)^2+1)(Cωcos(ωt)+R(Cω)^2sin(ωt)-Cωe^((-1/RC)t)
(d(u^cos(ωt)))/dt=R(di/dt)+(1/C)i-u^ωsin(ωt)=R(di/dt)+(1/C)i
-u^ωsin(ωt)=R(-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt))+1/C(Acos(ωt)+Bsin(ωt))
sin(ωt): 1: -u^ω=-AωR+B/C
cos(ωt): 2: 0=BωR+A/C
A=(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)
B=-(Cωu^)/((RCω)^2+1)
ip=(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)sin(ωt)
i=Ke^((-1/RC)t)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
mit i(0)=(ua(0)-U0)/R->K+(R(Cw)^2u^)/((RCω)^2+1)=(u^cos(ω*0)-U0)/R
K=(u^-U0)/R-(Cωu^)/((RCω)^2+1)
i=e^((-1/RC)t)((u^-U0)/R-(Cωu^)/((RCω)^2+1)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
i=e^((-1/RC)t)(u^/R-(Cωu^)/((RCω)^2+1))+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
i=-e^((-1/RC))t(U0/R+(Cωu^)/((RCω)^2+1))+(Cωu^)/((RCω)^2+1)+(Cωu^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
i=-Cωu^/((RCω)^2+1)e^(-1/(RC)t)+(Cωu^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
i=u^/((RCω)^2+1)(Cωcos(ωt)+R(Cω)^2sin(ωt)-Cωe^((-1/RC)t)
(d(u^cos(ωt)))/dt=R(di/dt)+(1/C)i-u^ωsin(ωt)=R(di/dt)+(1/C)i
-u^ωsin(ωt)=R(-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt))+1/C(Acos(ωt)+Bsin(ωt))
sin(ωt): 1: -u^ω=-AωR+B/C
cos(ωt): 2: 0=BωR+A/C
A=(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)
B=-(Cωu^)/((RCω)^2+1)
ip=(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)sin(ωt)
i=Ke^((-1/RC)t)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
mit i(0)=(ua(0)-U0)/R->K+(R(Cw)^2u^)/((RCω)^2+1)=(u^cos(ω*0)-U0)/R
K=(u^-U0)/R-(Cωu^)/((RCω)^2+1)
i=e^((-1/RC)t)((u^-U0)/R-(Cωu^)/((RCω)^2+1)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
i=e^((-1/RC)t)(u^/R-(Cωu^)/((RCω)^2+1))+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)-(Cωu^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
Additions:
K=-(U0/R+Ca)
i=-e^((-1/RC)t)(U0/R+Ca)+Ca
i=Ca(1-e^((-1/RC)t))-(U0/R)e^((-1/RC)t)
für den Fall, dass U0=0:
i=Ca(1-e^((-1/RC)t)
Nach genügend langer Zeit würde ein konstanter Strom i=Ca=const. fließen. Praktisch steigt die Spannung am Kondensator dann auch etwa linear mit der Zeit (bis seine Spannungsfestigkeit überschritten ist).
d(û^sin(wt))/dt=R(di/dt)+(1/C)i
u^ωcos(ωt)=R(di/dt)+(1/C)i
partikuläre Lösung: ip=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
(dip)/dt=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)
ip,(dip)/dt in DGL:
u^ωcos(ωt)=R(-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt))+1/C(Acos(ωt)+Bsin(ωt))
sin(ωt): 1: 0=-AωR+B/C
cos(ωt): 2: u^ω=BωR+A/C
A=(Cωu^)/((RCω)^2+1), B=R((Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)
ip=Cωu^/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
-> i= ih+ip
i=Ke^((-1/RC)t)+(Cωu^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
mit i(0)=(ua(0)-U0)/R -> K+(Cwu^)/((RCω)^2+1)
i=-e^((-1/RC)t)(U0/R+Ca)+Ca
i=Ca(1-e^((-1/RC)t))-(U0/R)e^((-1/RC)t)
für den Fall, dass U0=0:
i=Ca(1-e^((-1/RC)t)
Nach genügend langer Zeit würde ein konstanter Strom i=Ca=const. fließen. Praktisch steigt die Spannung am Kondensator dann auch etwa linear mit der Zeit (bis seine Spannungsfestigkeit überschritten ist).
d(û^sin(wt))/dt=R(di/dt)+(1/C)i
u^ωcos(ωt)=R(di/dt)+(1/C)i
partikuläre Lösung: ip=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
(dip)/dt=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)
ip,(dip)/dt in DGL:
u^ωcos(ωt)=R(-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt))+1/C(Acos(ωt)+Bsin(ωt))
sin(ωt): 1: 0=-AωR+B/C
cos(ωt): 2: u^ω=BωR+A/C
A=(Cωu^)/((RCω)^2+1), B=R((Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)
ip=Cωu^/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
-> i= ih+ip
i=Ke^((-1/RC)t)+(Cωu^)/((RCω)^2+1)cos(ωt)+(R(Cω)^2u^)/((RCω)^2+1)sin(ωt)
mit i(0)=(ua(0)-U0)/R -> K+(Cwu^)/((RCω)^2+1)
Additions:
Aufgabe 1.5.2
Zur Zeit t=0 wird die RC-Reihenschaltung an die Spannung ua=f(t) angeschlossen. Der Kondensator trage die Anfangsspannung U0. Berechnen Sie den Zeitverlauf von i(t) für die folgenden Bedingungen. Untersuchen Sie jeweils auch den Spezialfall für U0=0V.
uC=Uu+1/C∫idt wobei ∫ von 0 bis t
ua=Ri+U0+1/C∫idt wobei ∫ von 0 bis t Id/dt (...)
dua/dt=R(di/dt)+1/Ci(DGL)
Die Störfunktion ist s(t)=dua/dt, hängt also von dem konkreten Zeitverlauf der Spannung ua ab, und ist jedesmal neu zu berechnen!
homogene Lösung:
0=R(di/dt)+1/Ci
0=Rλ+1/C
λ=-1/(RC) -> ih=Ke^(-1/(RC)t)
Mit Hilfe der Anfangsspannung U0 lässt sich eine Anfangsbedingung für i(t) auf folgende Weise ableiten:
ua(0)=Ri(0)+U0+1/C∫idt wobei ∫ von 0 bis t=0
ua(0)=Ri(0)+U0
i(0)=(ua(0)-U0)/R)
S(t)=dua/dt=0 -> homogene DGL
i=Ke^((-1/RC)t)
K=(ua(0)=U0/R=((u^-U0)/R)
i=((u^-U0)/R)e^((-1/RC)t)
für den Fall, dass U0=0: i=(u^/R)e^((-1/RC)t
b)ua=at, partikuläre Lösung
S(t)=dua/dt=a
a=R(di/dt)+(1/C)i
a=R*U+(1/C)A
A=Ca
ip=Ca
i=Ke^(-1/RC)tCa
mit i(0)=(ua(0)-U0)/R,
i(0)=K+Ca
K+Ca=(0-U0)/R
wegen ua(0)=0
Zur Zeit t=0 wird die RC-Reihenschaltung an die Spannung ua=f(t) angeschlossen. Der Kondensator trage die Anfangsspannung U0. Berechnen Sie den Zeitverlauf von i(t) für die folgenden Bedingungen. Untersuchen Sie jeweils auch den Spezialfall für U0=0V.
uC=Uu+1/C∫idt wobei ∫ von 0 bis t
ua=Ri+U0+1/C∫idt wobei ∫ von 0 bis t Id/dt (...)
dua/dt=R(di/dt)+1/Ci(DGL)
Die Störfunktion ist s(t)=dua/dt, hängt also von dem konkreten Zeitverlauf der Spannung ua ab, und ist jedesmal neu zu berechnen!
homogene Lösung:
0=R(di/dt)+1/Ci
0=Rλ+1/C
λ=-1/(RC) -> ih=Ke^(-1/(RC)t)
Mit Hilfe der Anfangsspannung U0 lässt sich eine Anfangsbedingung für i(t) auf folgende Weise ableiten:
ua(0)=Ri(0)+U0+1/C∫idt wobei ∫ von 0 bis t=0
ua(0)=Ri(0)+U0
i(0)=(ua(0)-U0)/R)
S(t)=dua/dt=0 -> homogene DGL
i=Ke^((-1/RC)t)
K=(ua(0)=U0/R=((u^-U0)/R)
i=((u^-U0)/R)e^((-1/RC)t)
für den Fall, dass U0=0: i=(u^/R)e^((-1/RC)t
b)ua=at, partikuläre Lösung
S(t)=dua/dt=a
a=R(di/dt)+(1/C)i
a=R*U+(1/C)A
A=Ca
ip=Ca
i=Ke^(-1/RC)tCa
mit i(0)=(ua(0)-U0)/R,
i(0)=K+Ca
K+Ca=(0-U0)/R
wegen ua(0)=0
Additions:
i=Ke^(-R/L)t+Ru^/((Lω)^2+R^2)cos(ωt)+(Lωu^/((Lω)^2+R^2))sin(ωt)
0=K+
K=-(Ru^/(Lω)^2+R^2)
i(t)=-(Ru^/(Lω)^2+R^2)e^((-R/L)t)+Ru^/(Lω)^2+R^2)cos(ωt)+Lωu^/((Lω)^2+R^2)sin(ωt)
i(t)=u^/(√(R^2+(Lω)^2)(-R/(√(R^2+(Lω)^2)e^((-R/L)t)+R/(√(R^2+(Lω)^2)cos(ωt)+Lω/(√(R^2+(Lω)^2)sin(ωt))
0=K+
K=-(Ru^/(Lω)^2+R^2)
i(t)=-(Ru^/(Lω)^2+R^2)e^((-R/L)t)+Ru^/(Lω)^2+R^2)cos(ωt)+Lωu^/((Lω)^2+R^2)sin(ωt)
i(t)=u^/(√(R^2+(Lω)^2)(-R/(√(R^2+(Lω)^2)e^((-R/L)t)+R/(√(R^2+(Lω)^2)cos(ωt)+Lω/(√(R^2+(Lω)^2)sin(ωt))
Additions:
d) ua=u^cos(ωt)
u^cos(ωt)/R=i+(L/R)*(di/dt)
dip/dt=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)
u^cos(ωt)/R=Acos(ωt)+Bsin(ωt)+L/R(-Aωscosin(ωt)+Bωcos(ωt))
sin(ωt): 1: 0=B-LAω/R
nach Lösung des LGS:
A=Ru^/((Lω)^2+R^2), B=Lωu^/((Lω)^2+R^2
ip=Ru^/((Lω)^2+R^2)cos(ωt)+((Lωu^)/((Lω)^2+R^2))sin(ωt)
u^cos(ωt)/R=i+(L/R)*(di/dt)
dip/dt=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)
u^cos(ωt)/R=Acos(ωt)+Bsin(ωt)+L/R(-Aωscosin(ωt)+Bωcos(ωt))
sin(ωt): 1: 0=B-LAω/R
nach Lösung des LGS:
A=Ru^/((Lω)^2+R^2), B=Lωu^/((Lω)^2+R^2
ip=Ru^/((Lω)^2+R^2)cos(ωt)+((Lωu^)/((Lω)^2+R^2))sin(ωt)
Additions:
u=K- (Lωu^)/((Lω)^2+R^2)
K=Lωu^/((Lω)^2+R^2)
i(t)=Lωu^/((Lω)^2+R^2)e^((-R/L))t-Lωu^/((Lω)^2+R^2)cos(ωt)+Ru^/((Lω)^2+R^2)sin(ωt)
i(t)=u^/(√(R^2-(Lω)^2)(Lω/(√(R^2+(Lω)^2)sin(ωt))
K=Lωu^/((Lω)^2+R^2)
i(t)=Lωu^/((Lω)^2+R^2)e^((-R/L))t-Lωu^/((Lω)^2+R^2)cos(ωt)+Ru^/((Lω)^2+R^2)sin(ωt)
i(t)=u^/(√(R^2-(Lω)^2)(Lω/(√(R^2+(Lω)^2)sin(ωt))
Additions:
zugeh. homogene Lösung:
0=i+(L/R)*(di/dt)
U=(L/R)λ+1
λ=-R/L->ih=ke^((-R/L)t) (hom. Lösung)
a) Ua=u^
partikuläre Lösung:
u^/R=i+(L/R)*(di/dt)
ip=A
dip/dt=0
ip, dip/dt in DGL:
u^/R=A+(L/R)*0
A=u^/R
ip=u^/R
i=ih+ip
i=ke^((R/L)*t)+u^/R
mit Anfangsbed. i(0)=0
0=K+u^/R
K=-u^/R
i(t)=-(u^/R)e^((R/L)t)+u^/R
partikuläre Lösung:
at/R=i+(L/R)*(di/dt)
ip=At+B
dip/dt=A
ip,dip/dt in DGL:
at/R=At+B+(L/R)*A
t:A=a/R
t0:0=B+(L/R)*A -> 0=B+(L/R)*(a/R)-> B=-La/R^2
ip=(a/R)*t-La/R^2
i=ih+ip
i=ke^((R/L)*t)+(a/R)*t-(La)/(R^2)
mit Anfangsbedingung i(0)=0
0=K-La/R^2
K=La/R^2
i(t)=(a/R)t-La/R^2(1-e^((-R/L)t)
c) ua=u^sin(ωt)
partikuläre Lösung:
(u^sin(ωt))/R=i+(L/R)*(di/dt)
ip=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
dip/dt=-Aωsin(wt)+Bωcos(ωt)
ip, dip/dt in DGL:
(u^sin(ωt))/R=Acos(ωt)+Bsin(ωt)+L/R(-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt))
sin(ωt): 1: u^/R=B-(LAω)/R
cos(ωt): 2: 0=A+(LBω)/R
nach Lösung des GLS:
A=(-Lωu^)/((Lω)^2+R^2), B=Ru^/((Lω)^2+R^2)
ip=(-Lωu^)/((Lw)^2+R^2)cos(ωt)+Ru^/((lω)^2+R^2)sin(ωt)
i=ih+ip
i=ke^(-R/L)*t)-Lωu^/((Lω)^2+R^2)cos(ωt)+Ru^/((Lω)^2+R^2)sin(ωt)
0=i+(L/R)*(di/dt)
U=(L/R)λ+1
λ=-R/L->ih=ke^((-R/L)t) (hom. Lösung)
a) Ua=u^
partikuläre Lösung:
u^/R=i+(L/R)*(di/dt)
ip=A
dip/dt=0
ip, dip/dt in DGL:
u^/R=A+(L/R)*0
A=u^/R
ip=u^/R
i=ih+ip
i=ke^((R/L)*t)+u^/R
mit Anfangsbed. i(0)=0
0=K+u^/R
K=-u^/R
i(t)=-(u^/R)e^((R/L)t)+u^/R
partikuläre Lösung:
at/R=i+(L/R)*(di/dt)
ip=At+B
dip/dt=A
ip,dip/dt in DGL:
at/R=At+B+(L/R)*A
t:A=a/R
t0:0=B+(L/R)*A -> 0=B+(L/R)*(a/R)-> B=-La/R^2
ip=(a/R)*t-La/R^2
i=ih+ip
i=ke^((R/L)*t)+(a/R)*t-(La)/(R^2)
mit Anfangsbedingung i(0)=0
0=K-La/R^2
K=La/R^2
i(t)=(a/R)t-La/R^2(1-e^((-R/L)t)
c) ua=u^sin(ωt)
partikuläre Lösung:
(u^sin(ωt))/R=i+(L/R)*(di/dt)
ip=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
dip/dt=-Aωsin(wt)+Bωcos(ωt)
ip, dip/dt in DGL:
(u^sin(ωt))/R=Acos(ωt)+Bsin(ωt)+L/R(-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt))
sin(ωt): 1: u^/R=B-(LAω)/R
cos(ωt): 2: 0=A+(LBω)/R
nach Lösung des GLS:
A=(-Lωu^)/((Lω)^2+R^2), B=Ru^/((Lω)^2+R^2)
ip=(-Lωu^)/((Lw)^2+R^2)cos(ωt)+Ru^/((lω)^2+R^2)sin(ωt)
i=ih+ip
i=ke^(-R/L)*t)-Lωu^/((Lω)^2+R^2)cos(ωt)+Ru^/((Lω)^2+R^2)sin(ωt)
Additions:
||1.5 Lösen Sie die linearen inhomogenen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten für folgende Schaltungsanordnungen.
Aufgabe 1.5.1
Zur Zeit t=0 wird die RL-Reihenschaltung an die Spannung Ua=f(t) angeschlossen. Berechnen Sie den Zeitverlauf von i(t) für folgende Bedingungen:
a) ua=u^
b) ua=at
c) ua=u^sin(wt)
d) ua=u^cos(wt)
Maschengleichung:
uR=Ri
uL=L(di/dt)
ua=Ri+L(di/dt)
ua/R=i+(L/R)*(di/dt)
||
Aufgabe 1.5.1
Zur Zeit t=0 wird die RL-Reihenschaltung an die Spannung Ua=f(t) angeschlossen. Berechnen Sie den Zeitverlauf von i(t) für folgende Bedingungen:
a) ua=u^
b) ua=at
c) ua=u^sin(wt)
d) ua=u^cos(wt)
Maschengleichung:
uR=Ri
uL=L(di/dt)
ua=Ri+L(di/dt)
ua/R=i+(L/R)*(di/dt)
||
Additions:
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Deletions:
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Additions:
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===Differentialgleichungen - Lösungen===
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===Differentialgleichungen - Lösungen===
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Deletions:
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