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||**4. Ansatz einer partikulären Lösung für eine inhomogene DGL:**
Für eine lin. inhom. DGL mit konstanten Koeffizienten
any^n+...+a2y(2 Strich)+a1y'+a0y=s(x)
ergibt sich die allg. Lösung aus der Summe der Lösung der zugehörigen homogenen DGL yH und einer partiellen Lösung yP der inhomogenen DGL.
y= yH+yP
Finden der partiellen Lösung bei bestimmten Störfunktionen durch geeigneten Ansatz
a) s(x)=a*exp(bx)
yP=A*exp(bx)
b) s(x)=a*cos(cx)+b*sin(cx)
yP=A*cos(cx)+B*sin(cx)
c) s(x)=a*cosh(cx)+b*sinh(cx)
yP(x)=a*cosh(cx)+B*sinh(cx)
d) s(x)=a0+aax+a2x^2+...+amx^m
yP=A0+A1x+A2x^2+...+Amx^m
e) Resonanzfall: Ist eine so zu bildende partikuläre Lösung bereits Teillösung der zugehörigen homogenen DGL, so muss sie zusätzlich mit der unabhängigen Variablen x multipliziert werden. (Ist diese auch Teillösung, ist die Multiplikation zu wiederholen.)
f) Ist s(x) eine Linearkombination obiger Typen, so ist für yP eine ebensolche Linearkombination anzusetzen.
Der geeignete Ansatz für die partikuläre Lösung ist mit seinen zugehörigen Ableitungen in die inhomogene DGL anzusetzen.
Der geeignete Ansatz für die partikuläre Lösung ist mit seinen zugehörigen Ableitungen in die inhomogene DGL einzusetzen. Dann können die im Ansatz enthaltenen Konstanten durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden.
y.+5y=sin(t)+2cos(t)
y.+5y=0 -> λ+5=0 -> λ=-5->yH=Ce^(-5t)
Ansatz: yP=Asin(t)+Bcos(t)->yP=Acos(t)-Bsin(t)
einsetzen: Acos(t)-Bsin(t)+5(Asin(t)+Bcos(t))=sin(t)+2cos(t)
Koeffizientenvergleich - für sin(t): 5A-B=1
für cos (t): A+5B=2
-> A=7/26 und B=9/26
yP=7/26 sin(t)+9/26cos(t)
y=yH+yP=Ce^(-5t)+7/26sin(t)+9/26cos(t)
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Für eine lin. inhom. DGL mit konstanten Koeffizienten
any^n+...+a2y(2 Strich)+a1y'+a0y=s(x)
ergibt sich die allg. Lösung aus der Summe der Lösung der zugehörigen homogenen DGL yH und einer partiellen Lösung yP der inhomogenen DGL.
y= yH+yP
Finden der partiellen Lösung bei bestimmten Störfunktionen durch geeigneten Ansatz
a) s(x)=a*exp(bx)
yP=A*exp(bx)
b) s(x)=a*cos(cx)+b*sin(cx)
yP=A*cos(cx)+B*sin(cx)
c) s(x)=a*cosh(cx)+b*sinh(cx)
yP(x)=a*cosh(cx)+B*sinh(cx)
d) s(x)=a0+aax+a2x^2+...+amx^m
yP=A0+A1x+A2x^2+...+Amx^m
e) Resonanzfall: Ist eine so zu bildende partikuläre Lösung bereits Teillösung der zugehörigen homogenen DGL, so muss sie zusätzlich mit der unabhängigen Variablen x multipliziert werden. (Ist diese auch Teillösung, ist die Multiplikation zu wiederholen.)
f) Ist s(x) eine Linearkombination obiger Typen, so ist für yP eine ebensolche Linearkombination anzusetzen.
Der geeignete Ansatz für die partikuläre Lösung ist mit seinen zugehörigen Ableitungen in die inhomogene DGL anzusetzen.
Der geeignete Ansatz für die partikuläre Lösung ist mit seinen zugehörigen Ableitungen in die inhomogene DGL einzusetzen. Dann können die im Ansatz enthaltenen Konstanten durch Koeffizientenvergleich bestimmt werden.
y.+5y=sin(t)+2cos(t)
y.+5y=0 -> λ+5=0 -> λ=-5->yH=Ce^(-5t)
Ansatz: yP=Asin(t)+Bcos(t)->yP=Acos(t)-Bsin(t)
einsetzen: Acos(t)-Bsin(t)+5(Asin(t)+Bcos(t))=sin(t)+2cos(t)
Koeffizientenvergleich - für sin(t): 5A-B=1
für cos (t): A+5B=2
-> A=7/26 und B=9/26
yP=7/26 sin(t)+9/26cos(t)
y=yH+yP=Ce^(-5t)+7/26sin(t)+9/26cos(t)
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