Tutorium Grundlagen Statistik
8. Normalverteilung
| Grundbegriffe: E ( x )=μ: Erwartungswert Var ( x )=σ^2: Varianz P ( x ): Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses x xu: untere Grenze xo: obere Grenze FN: Wert aus der Normalverteilungstabelle Formelsammlung: S. 54 – 55, 68 |
| Übungsaufgaben: (1) Eine Firma stellt Leitern her, welche beliebig zusammensteckbar sind. Die produzierten Leitern haben jeweils eine durchschnittliche Länge von 4 m ±0,05 m. a) Bestimmen Sie den Anteil der unbrauchbaren Leitern, wenn die Mindestlänge einer solchen Leiter 3,95 m betragen muss. b) Karl Heinz benötigt für Arbeiten an seiner Getränkehalle eine Leiter mit einer Gesamtlänge von mindestens 12,2 m. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit dem zusammenstecken von drei Leitern die benötigte Länge erreichen kann? a) Gegeben: X: Länge der Leitern μ=4 durchschnittliche Länge aller produzierten Leitern σ =0,05 Streuung aller produzierten Leitern Gesucht: P ( x ⩽ 3,95)=? P ( 0 ⩽ x ⩽3,95 )=? Lösung: P ( 15⩽ x ⩽20 )= P ( x =15)+ P ( x =16 )+ P ( x =17 )+ P ( x =18 )+ P ( x =19 )+ P ( x = 20 ) Wir müssten nun zur Berechnung sechsmal die Formel der Hypergeometrischen Verteilung anwenden, was wir uns durch Approximation durch die Normalverteilung ersparen können. Approximation durch Normalverteilung: Vorraussetzungen prüfen: n∗ p∗( 1− p )⩾9 p=M/N p=150/500 p =0,3 50∗0,3 ∗( 1−0,3 )⩾9 10,5⩾9; Voraussetzung erfüllt N ⩾ 2 ∗n 500⩾ 300; Voraussetzung erfüllt Approximation: μ=n*p μ=50*0,3 μ=15 FS S.58 Approximation σ^2=n*p*( 1− p )*((N-n)/(N-1)) FS S.58 Approximation σ^2=50*0,3*( 1−0,3 )*((500-50)/(500-1)) σ^2=9,4689 σ =√(σ^2) σ =3,0771639 P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=? FS S.58 Stetigkeitskorrektur P ( x = x )= FN ((xo−μ)/σ)− FN(xu−μ/σ) FS S.55 Normalverteilung P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )= FN ((20,5-15)/3,0771639)− FN ((14,5−15)/3,0771639) P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )= FN( 1,79 )− FN(−0,16 ) P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )= FN( 1,79 )−( 1− FN( 0,16 )) FS S.55 FN einer negativen Zahl P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=0,9633 −( 1−0,5636) FS S.68 Normalverteilungstabelle P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=0,9633 −0,4364 P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=0,5269 P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=52,7 % (2) An einem Bankschalter kommen durchschnittlich pro Viertelstunde zehn Kunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Viertelstunde wenigstens 11 Kunden eintreffen? P ( x ⩾11 )= 43,7 % (3) Aus einer Produktionsserie von 10000 Teilen mit einem Ausschussanteil von 20% werden 60 Teile mit Zurücklegen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter 20 bis 40 Fehlteile befinden? P ( 20 ⩽ x ⩽ 40 )=0,78 % (4) Weitere Übungsaufgaben: Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät Wirtschaft im Unterordner „Statistik“. Mit Blick auf die Klausur wäre es hilfreich die Aufgaben der ausgegebenen Klausuren zu üben. |
| Approximation durch die Normalverteilung Grundbegriffe: N: Grundgesamtheit M: Anzahl der Merkmalsträger n: Stichprobe P ( x ): Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses x p: Wahrscheinlichkeit e: eulersche Zahl E ( x )=μ: Erwartungs-, Durchschnittswert Var ( x )=σ^2: Varianz xu: untere Grenze xo: obere Grenze FN: Wert aus der Normalverteilungstabelle Formelsammlung: S. 52 – 55, 68 |
| Übungsaufgaben: (1) Von 500 Studierenden eines Fachbereiches bestreiten 150 ihr Studium mit eigenen finanziellen Mitteln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 50 ausgewählten Studenten 15 bis 20 ihr Studium selbst finanzieren? Gegeben: X: eigene Mittel N =500 Grundgesamtheit n =50 Stichprobe M =150 Anzahl der Studenten welche ihr Studium mit eigenen Mitteln bestreiten Gesucht: P ( 15⩽ x ⩽20 )=? Lösung: P ( 15⩽ x ⩽20 )= P ( x =15)+ P ( x =16 )+ P ( x =17 )+ P ( x =18 )+ P ( x =19 )+ P ( x = 20 ) Wir müssten nun zur Berechnung sechsmal die Formel der Hypergeometrischen Verteilung anwenden, was wir uns durch Approximation durch die Normalverteilung ersparen können. Approximation durch Normalverteilung: Vorraussetzungen prüfen: n* p*( 1− p )⩾9 p=M/N p=150/500 p =0,3 50*0,3*( 1−0,3 )⩾9 10,5⩾9 Voraussetzung erfüllt N ⩾ 2*n 500⩾ 300; Voraussetzung erfüllt Approximation: μ=n*p μ=50*0,3 μ=15 FS S.58 Approximation σ^2=n* p*( 1− p )*((N-n)/(N-1)) FS S.58 Approximation σ^2=50*0,3*( 1−0,3 )*((500-50)/(500-1)) σ^2=9,4689 σ =√ σ^2 σ =3,0771639 FS S.58 Approximation P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=? FS S.58 Stetigkeitskorrektur P ( x = x )= FN (xo−μ/σ)− FN (xu−μ/σ) FS S.55 Normalverteilung P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )= FN ((20,5 −15)/3,0771639)− FN ((14,5−15)/3,0771639) P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )= FN ( 1,79 )− FN (−0,16 ) P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )= FN( 1,79 )−( 1− FN ( 0,16 )) FS S.55 FNeiner negativen Zahl P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=0,9633 −( 1−0,5636) FS S.68 Normalverteilungstabelle P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=0,9633 −0,4364 P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=0,5269 P ( 14,5⩽ x ⩽20,5 )=52,7 % |
| (2) An einem Bankschalter kommen durchschnittlich pro Viertelstunde zehn Kunden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer bestimmten Viertelstunde wenigstens 11 Kunden eintreffen? P ( x ⩾11 )= 43,7 % |
| (3) Aus einer Produktionsserie von 10000 Teilen mit einem Ausschussanteil von 20% werden 60 Teile mit Zurücklegen ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich darunter 20 bis 40 Fehlteile befinden? P ( 20 ⩽ x ⩽ 40 )=0,78 % |
| (4) Weitere Übungsaufgaben: Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der FakultätWirtschaft im Unterordner „Statistik“. Mit Blick auf die Klausur wäre es hilfreich die Aufgaben der ausgegebenen Klausuren zu üben. |
| PDF Dokument Aufgaben und Lösungen Normalverteilung |
| PDF Dokument Aufgaben und Lösungen Approximation durch Normalverteilung |
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