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Tutorium Mathematik 2

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Extremwerte und Nebenbedingungen, Lagrange Multiplikatoren - Lösungen



5.1 Eine zylindrische Blechdose (Radius R, Höhe H) ohne Deckel habe ein
Volumen von 1250 ml. Berechnen Sie die Maße der Dose, so dass die not-wendige Lötnaht möglichst kurz ist. (Gelötet wird entlang des kreisförmigen
Umfangs der Grundfläche und einmal entlang der Mantellinie der Länge H).
- Formulieren Sie Zielfunktion und Nebenbedingung
- Berechnung durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Zielfunktion
- Berechnung durch Lagrange-Multiplikatoren-Methode

Lösung:
a)
Zielfunktion: L(R,H)= 2πR+H
Nebenbedingung: g(R,H)=πR^2H-V=0

b)
Nebenbedingung nach H umstellen und in Zielfunktion einsetzen:

H=V/πR^2
L=2piR+V/πR^2=L(R)

Differenzieren der Gleichung:
dL/dR=2π-2V/πR^3=0
R^3=V/π^2=1250cm^2/π^2=126,65cm^3
R=3√126,65cm^3
R=5,022cm
H=v/πR^2=1250cm^2/π(5,022cm)^2
H=15,777cm

d^L/dR^2=6V/πR^4=(6*1250 cm^2)/(π*(5,022cm)^4)=3,75>0-> lokales Minimum

c)
F(R,H,λ)=2πR+H+λ(πR^2H-V)
FR=2π+2λπRH=0 (I)
FH=1+λπR^2=0 (II) -> λ = -1/πR^2 in (I) einsetzen
Fλ=πR^2H-V=0 (III)
-> (2π-2/πR^2)*πRH=0
2π=(2/R)*H
H=πR
V=πR^2H=πR^2πR=π^2R^3
R=3√(V/π^2)=3√(1250cm^2/π^2)=5,022 cm

H=V/πR^2 = 1250 cm^2/π(5,022cm)^2
H= 15,777 cm


5.2 Ein zylinderförmige Dose aus Blech soll ein Volumen von V = 5000cm^3 haben.
Zu ihrer Herstellung wird zunächst ein rechteckiges Blech zur Mantelfläche zusammengebogen und entlang der Mantellinie zusammengelötet. Danach werden die kreisrunden Grund- und Deckflächen entlang des jeweiligen Kreisumfangs eingelötet.
a) Wie muss die Dose dimensioniert sein (Radius R und Höhe H), damit die Gesamtlänge L der gelöteten Linien minimal ist ?
b) Wie muss die Dose dimensioniert sein (Radius R und Höhe H), damit die Oberfläche und damit der Blechverbrauch minimal ist ?

Lösung:

a) Zielfunktion: L=H+4πR
Nebenbedingung: V=πR^2H

1. Weg: Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen

L=V/πR^2+4πH=L(R)
dL/dR=2V/πR^3+4π=0
4π^2R^3=2V
R^3=V/2π^2
R=3√(v/2π^2)=3√(5000 cm^3/2π^2)=6,327 cm
H=v/πR^2=39,75 cm

Wegen d^2L/dR^2=6V/πR^4>0
ist ein lokales Minimum, d.h. die gelötete Linie ist minimal mit L=39,75 cm+4π*6,327cm=119,26 cm

2. Weg: Lagrange-Multiplikatoren

F=L+λ(πR^2H-V)
F=H+4πR+λ(πR^2H-V)
FH=1+λπR^2=0 (I)
FR=4π+2λπRH=0 (II)
Fλ=πR^2H-V=0 (III)

aus (I) λ=-1/πR^2
in (II) 4π-(2πRH)/(πR^2)=0
4πR^2=2πRH
2πR=H

V=πR^2H=πR^2*2πR=2π^2R^3
R^3=V/2π^2
R=6,327cm-> H=2πR=39,75cm
Verbale (logische) Begründung für Minimum von L:
Lässt man gedanklich die Grundfläche "schrumpfen" (R -> 0), so muss H -> unendlich gehen, damit V=5000cm^3=cost bleiben kann. Lässt man stattdessen H -> 0 gehen, so muss R -> unendlich für V=const. Das bedeutet in beiden Fällen L -> unendlich. Da nur ein Extremwert für L gefunden wird, muss dieser ein Minimum sein.

b) Zielfunktion: A = 2πR^2+2πRH
Nebenbedingung: V =πR^2H

1. Weg: Nebenbedingung in Zielfunktion einsetzen

A= 2πR^2+2πR*V/πR^2=2πR^2+2V/R
dA/dR=4πR-2V/R^2=0
4πR^3=2V
R^3=V/2π
R=3√(V/2π)=3√(5000cm^3/2π)=9,267cm
H=V/πR^2 = (5000cm^3)/(π*(9,267cm)^2=18,534cm

Es handelt sich tatsächlich um ein Minimum für A, denn:
d^2A/dR^2=4π+4V/R^3>0

2. Weg: Lagrange-Multiplikatoren
F=2πR^2+2πRH+λ(πR^2H-V)
FR=4πR+2πH+λ2πRH=0 (I)
FH=2πR+λπR^2=0 (II)
Fλ=πR^2H-V=0 (III)

aus (II) λ=2πR/πR^2=-2/R
in (I) 4πR+2πH-(2/R)2πRH=0
4πR+2πH-4πH=0
2R=H
V=πR^2H=πR^2*2R=2πR^3
R^3=V/2π
R=3√(V/2π)
R=9,267cm -> H=2R=18,534cm

5.3 In eine Kugel mit dem Radius R soll ein Kreiszylinder [ Kreiskegel ] einbeschrieben werden. Bestimmen Sie das Verhältnis von Grundkreisradius und Höhe, wenn das Volumen des Zylinders [ Kegels ] ein Maximum sein soll!

Lösung:

a) Zylinder

ZF: VZylinder = π*r^2*h -> max
NB: R^2 = r^2+(h/2)^2

aus NB: r^2=R^2-(h/2)^2 in ZF
VZylinder=π(R^2-(h/2)^2)h
VZylinder=πR^2h-π/4h^3=f(h)
dVZylinder/dh=πR^2-3π/4h^2=0
3π/4h^2=πR^2
h=2/√3*R in NB r^2=R^2-(h/2)^2
r^2=R^2-(3/4R^2)/2^2
r^2=R^2-1/3R^2
r=√(2/3)*R -> r/h=√2/2=0,707
d^2VZylinder/dh^2=0-(3π/2)*h<0 -> max

mit Lagrangen Multiplikatoren:
F=π*r^2*h+λ(r^2+(h/2)^2-R^2)
deltaF/delta r = 2πrh+2λ=0 ->λ=-πh
deltaF/delta h = πr^2+1/2λh=0 -> πr^2+1/2(-πh)h=0 -> r^2=h^2/2
in NB: R^2=(h/2)^2+r^2=h^2/4+h^2/2=3h^3/4 -> h=√(4/3)R und r=√(2/3)R

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/Mathe2L5/Mathe1.jpg)

b) Kegel

ZF: VKegel = π/3*r^2*h ->max
NB: R^2=r^2+(h-R)^2

aus NB: r^2=R^2-(h-R)^2
r^2=R^2-(h^2-2hR+R^2)
r^2=2hR-h^2 in ZF
VKegel=π/3(2hR-h^2)h
VKegel=(2π/3)Rh^2-(π/3)h^3=f(h)
dVKegel/dh=(4π/3)RH-ah^2=0
(4π/3)RH=ah^2 I : h (h>0 wegen max.)
h=4/3R in NB r^2=R^2-(h-R)^2
r^2=R^2-(4/3R-R)^2
r^2=R^2-1/9R^2
r=√(8/9)R=((√2*2)/3)*R
-> r/h=√2/2=rund 0,707
d^2Kegel/dh^2=4π/3R-2πh=4π/3R-2π4/3R<0 -> max

mit Lagrangen Multiplikatoren:
F=1/3π*r^2*h+λ(r^2+h^2-2hR)
deltaF/delta r = 2/3π*r*h+2λr=0
-> λ=-1/3πh
deltaF/delta h = 1/3π*r^2+λ(2h-2R)=0
-> 1/3πr^2-1/3πh(2h-2R)=0 I:1/3π
-> r^2 = h(2h-2R)
mit NB gleichgesetzt: 2hR-h^2=2h^2-2hR I:h
-> 4R=3h
-> h=4/3R und r=2/3√2R

 (image: https://hssm.hqedv.de/uploads/Mathe2L5/Mathe2.jpg)

5.4 Ein Körper bestehe aus einem Zylinder mit Grundfläche ( Radius R, Höhe H), auf dem als Deckfläche eine Halbkugel aufgesetzt ist. Man berechne für ein vorgegebenes Volumen V = 1000 cm³ die Werte für R und H so, dass die Oberfläche des Körpers minimal wird!



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