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Tutorium Grundlagen Statistik
4. Eindimensionale stetige Zufallsvariable
| Grundbegriffe f ( x ): Dichtefunktion der Zufallsvariable x F ( x ): Verteilungsfunktion der Zufallsvariable x E ( x ): Erwartungswert der Zufallsvariable x Var ( x )=σ²: Varianz der Zufallsvariable x P ( a ⩽ x ⩽b ): Wahrscheinlichkeit Formelsammlung: S. 51 – 52 |
| Übungsaufgaben: (1) Für eine stetige Zufallsvariable x gilt folgende Dichtefunktion: f ( x )={ 2 √ x −2 x +4/6, 0⩽ x ⩽1 ; 0, sonst. Ermitteln Sie, a) den Erwartungswert der Variablen x b) die Streuung c) die Wahrscheinlichkeit, dass die Variable Werte zwischen 0,2 und 1,2 annimmt. Lösung: a) E ( x )=∫x*f ( x ) dx wobei ∫von-∞bis∞ E ( x )=∫x* ( 2 √ x −2 x +4/6) dx wobei ∫ von 0 bis 1 E ( x )=∫2x^1,5−2x^2+2/3x dx wobei ∫ von 0 bis 1 E ( x )=[4/5x^2,5-2/3x^3+2/6x^2] von 0 bis 1 FS S.52 Erwartungswert E ( x )= 4/5-2/3+2/6-0 E ( x )=0,467 b) Var ( x )=∫x²*f(x)dx-E(x)² von −∞bis∞ Var ( x )=∫x²* (2 √ x −2 x +4/6) dx −0,467² wobei ∫ von 0 bis 1 Var ( x )=∫( 2x^2,5- 2x³+4/6x²) dx −0.467² wobei ∫ von 0 bis 1 Var ( x )=[4/7x^3,5−1/2x^4+2/9x^3] − 0,467² wobei ∫ von 0 bis 1 Var ( x )=4/7-1/2+2/9-0-0,467² Var ( x )=σ²=0,075561794 √( Var ( x ) )=σ =±0,274885056 FS S.52 Varianz c) P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=∫f ( x ) dx wobei ∫ von 0,2 bis 1 P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=∫2 √x −2 x +4/6dx wobei ∫ von 0,2 bis 1 P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=[4/3x^1,5-x²+4/6x] von 0,2 bis 1 P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=4/3-1+2/3-(4/3 0,2^1,5-0,2²+4/6 0,2) P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=1− 0,2126 P ( 0,2 ⩽ x ⩽1 )=78,74 % |
| (2) Die Verspätung (in Minuten) eines Zuges sei durch folgende Dichtefunktion gegeben: f ( x )={1/2−1/8 x, 0< x <4 ; 0, sonst. a) Kann man diese Funktion als Dichtefunktion nutzen? b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Verspätung des Busses zwischen einer und zwei Minuten liegt: c) Geben Sie die zugehörige Verteilungsfunktion an. Lösung: a) fx (x)⩾0 ist erfüllt ∫f (x )=1 ist erfüllt von −∞bis∞ FS S.51 Bedingungen b) P ( 1⩽ x ⩽2 )=31,25 % c) F ( x )={0, für x ⩽0 ;1/2x −1/16x², für 0 < x < 4 ; 1, für x ⩾ 4 |
| (3) Gegeben ist folgende Funktion: f ( x )={0, für −∞< x <0 ; a ( x^3- x^2), für 0 ⩽ x ⩽4 ; 0, für 1< x <1 a) Für welchen Wert a ist f(x) Dichtefunktion einer Zufallsgröße X? b) Berechnen Sie P(0 [ ] X [ ] 0,5). c) Bestimmen Sie Erwartungswert E(x), Varianz Var(x) und Standardabweichung. Lösung: a) a =−12 b) P ( 0 ⩽ x ⩽1/2)=31,25 % c) E ( x )=0,6 σ²=0,04 σ =±0,02 |
| (4) Weitere Übungsaufgaben: Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät Wirtschaft im Unterordner „Statistik“. Mit Blick auf die Klausur wäre es hilfreich die Aufgaben der ausgegebenen Klausuren zu üben. |
| PDF Dokument Aufgaben und Lösungen |
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