Tutorium Mathematik 3
Trennen der Variablen - Lösungen
| Aufgabe 1.2.1 y'=(2+sin(x)/(3+4y) y'=(2+sin(x))/(3+4y) dy/dx=(2+sin(x)/(3+4y) dy/dx=(2+sin(x)/(3+4y) (3+4y)dy=(2+sin(x))dx I ∫(...) ∫(3+4y)dy=∫(2+sin(x))dx 3y+2y^2=2x-cos(x)+K 0=2y^2+3y-2x+cos(x)-K 0=y^2+3/2y-x+1/2cos(x)-1/2K y1,2=-3/4+-√(9/16+x-1/2cos(x)+1/2K) mit K~=9/16+1/2K y1,2=-3/4+-√(K~+x-1/2cos(x)) Das Vorzeichen + oder - ergibt sich erst beim Einsetzen von Anfangsbedingungen eindeutig. Aufgabe 1.2.2 x.=(e^(-3t))/(x+2); x(0)=2 dx/dt=(e^(-3t))/(x+2) (x+2)dx=e^(-3t)dt I ∫(...) ∫(x+2)dx=∫e^(-3t)dt 1/2x^2+2x=-1/3e^(-3t)+K 0=x^2+4x+2/3e^(-3t)-2K x1,2=-2+-√(4-2/3e^(-3t)+2K) mit K^=2K+4 x1,2=-2+-√(K^-2/3e^(-2t)) Da x(0)=2>-2, muss für spezielle Lösung "+" voranstehen: x(0)=-2+√(K^-2/3e^(-3t))=2 √(K^-2/3e^(-3t))=4 K^-2/3e^(-3t)=16 K^=16+2/3=50/3 x=x(t)=-2+√(50/3-2/3e^(-3t)) (spezielle Lösung) Aufgabe 1.2.3 du/dt=3ucos(3t+4) Lösung: du/u=3cos(3t+4)dt I ∫(...) ∫du/u=∫3cos(3t+4)dt lnIuI=sin(3t+4)+K Ie^(...) IuI=e^(sin(3t+4)+K)=e^(sin(3t+4)e^K u=+-e^K*e^(sin(3t+4)) e^K>0;K~=+-e^K; K~єR\{0} u=K~e^(sin(3t+4)) -> allgemeine Lösung Aufgabe 1.2.4 di(t)/dt=(3t+1)i Lösung: di(t)/i=(3t+1)dt I ∫(...) ∫di(t)/i=∫(3t+1)dt ln(i)=3/2t^2+t+K I e^(...) IiI=e^(3/2t^2+t+K)=e^(3/2t^2+t)e^K; K~=+-e^K; K~єR\{0} i=+-e^Ke^(3/2t^2+t) K~=+-e^K; K~єR\{0} i=i(t)=K~e^(3/2t^2+t) -> allgemeine Lösung Aufgabe 1.2.5 y'=-3y+1 Lösung: dy/dx=-3y+1 dy/(-3y+1)=dx I ∫(...) ∫dy/(-3y+1)=∫dx -1/3ln(-3y+1)=x+K lnI-3y+1I=-3x-3K I e^(...) I-3y+1I=e^(-3x-3K)=e^(-3x)e^(-3K) mit e^(-3K)=K*; K*єR; K*>0 I-3y+1I=K*e^(-3x) -3y+1=+-K*e^(-3x) -3y=-1+-K*e^(-3x) y=1/3-+1/3K*e^(-3x) mit K^=-+1/3K*; K^єR\{0} y=1/3+K^e^(-3x) -> allgemeine Lösung Aufgabe 1.2.6 y'=-3x+1 Lösung: dy/dx=-3x+1 dy=(-3x+1)dx I ∫(...) ∫dy=∫(-3x+1)dx y=-3/2x^2+x+K -> allgemeine Lösung |
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