Tutorium Mathematik 3
Fortgesetztes Integrieren - Lösungen
| 1. Differentialgleichungen 1.1 Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen durch fortgesetztes Integrieren! Aufgabe 1.1.1 y=tsin(t)+3√(t+1) Lösung: y=tsin(t)+3√(t+1) I ∫(...)dt y=∫(tsin(t)+3√(t+1))dt y=∫tsin(t)dt+3∫√(t+1)dt NR: ∫xsin(ax)dx=(sin(ax)/a^2)-(xcos(ax)/a) ∫√(ax+b)dx=2/3a√((ax+b)^3) y=sin(t)-tcos(t)+2√((t+1)^3)+K (allg. Lösung) y(0)=4->4=sin(0)-0+2√1+K->K=2 y=sin(t)-tcos(t)+2√((t+1)^3) (spez. Lösung) Aufgabe 1.1.2 y(2 Strich)=xe^2x+3e^-x;y(0)=1;y'(0)=0 Lösung: y(2 Strich)=xe^2x+3e^-x I ∫(...)dx NR: ∫xe^(ax)dx=((ax-1)/a^2)e^ax y'=(1/2x-1/4)e^2x-3e^-x+K1 y'=1/2xe^2x-1/4e^2x-3e^-x+K1 I ∫(...)dx y=(1/4x-1/8)e^2x-1/8e^2x+3e^-x+K1x+K2 y=(1/4x-1/4)e^2x+3e^-x+K1+K2 (allgem. Lösung) y(0)=1->1=-1/4e^0+3e^0+K2->K2=-1,75 y'(0)=0->0=-1/4e^0-3e^0-3e^0+K1->K1=3,25 y=(1/4x-1/4)e^2x+3e^-x+3,25x-1,75 (spez. Lösung) Aufgabe 1.1.3 y(3 Strich)=2x-4+√(2x+3); y(3)=5; y(11)=9; y'(3)=1 Lösung: y(3 Strich)=2x-4+√(2x+3) I ∫(...)dx y(2 Strich)=x^2-4x+1/3√((2x+3)^3)+K1 I ∫(...)dx y'=1/3x^3-2x^2+1/15√((2x+3)^5)+K1x+K2 I ∫(...)dx y=1/12x^4-2/3x^3+1/105√((2x+3)^7)+K1/2x^2+K2x+K3 (allg. Lösung) y(3)=5->-4,57857=4,5K1+3K2+K3 (I) y(11)=9->-1067,798=60,5K1+11K2+K3 (II) y'(3)=1->-6,2=3K1+K2 (III) nach Lösung des lin. GS: K1=-31,675; K2=88,827; K3=-128,52 y=1/4x^4-2/3x^3+1/15√((2x+3)^7)-15,8375x^2+88,827x-128,52 (spez. Lösung) Aufgabe 1.1.4 y.=e^(-2t)sin(t)+ln(t+1) Lösung y.=e^(-2t)sin(t)+ln(t+1) I ∫(...)dt NR: ∫e^(ax)sin(bx)dx=(e^(ax)/(a^2+b^2))(asin(bx)-bcos(bx)) ∫ln(x)dx=xln(x)-x y=(e^(-2t)/5)(-2sin(t)-cos(t))+(t+1)(ln(t+1)-1)+K (allg. Lösung) Aufgabe 1.1.5 y..=e^(-2t+3t; y(0)=y(0)=2 y..=e^(-2t)+3t I ∫(...)dt y.=-1/2e^(-2t)+3/2t^2+K1 I∫(...)dt y=1/4e^(-2t)+1/2t^3+K1t+K2 (allgem. Lösung) y(0)=2->2=1/4+K2->K2=7/4 y(0)=2->2=-1/2+K1->K1=5/2 y=1/4e^(-2t)+1/2t^3+5/2t+7/4 (spez. Lösung) Aufgabe 1.1.6 u(3 Strich)=3cosh(x)+sinh(x) Lösung: u(3 Strich)=3cosh(x)+sinh(x) I ∫(...)dx u(2 Strich)=3sinh(x)+cosh(x)+K1 I ∫(...)dx u'=3cosh(x)+sinh(x)+K1x+K2 I ∫(...)dx u=3sinh(x)+cosh(x)+(K1/2)x^2+K2x+K3 (allg. Lösung) |
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