Tutorium Mathematik 3
Beispielklausur - Lösungen
1. Berechnen Sie das zweifache Integral über das rechteckige Gebiet G mit  xє[1;2]yє[0;π] ∫∫x*sin(y)dxdy Lösung: 3 2. Gegeben ist die Funktion y(t) = e^2t im Intervall [0; 0,5]. 2.1 Berechnen Sie den integralen Mittelwert in diesem Intervall! Lösung:  y_=e-1≈ 1,72 Denken Sie sich diese Funktion periodisch mit T = 0,5 fortgesetzt und bestimmen Sie für diesen Fall den Effektivwert.  Lösung: yeff=√(1/2(e^2-1))≈1,79 3. Man bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung mit Hilfe des λ -Ansatzes und einem geeigneten Ansatz für die partikuläre Lösung : y’’ + 10y’ + 34y = sin(x)  Lösung: y=e^(-5x)(AcosBx)+Bsin(3x))-0,00841cosx+0,027-6sinx 4. Aufgabe: Laplace - Transformation 4.1. Transformieren Sie unter Verwendung von Korrespondenztabellen folgende Funktionen vom Zeit- in den Bildbereich: a) f(t) = 4e^ -t b) f(t) = t*e^ -5t c) f(t) = 5cos (8t) Lösung:  Lösung: a) F(s)=4/(s+1) b) F(s)=1/(s+5)^2 c) F(s)=5s/(s^2+64) 4.2. Transformieren Sie unter Verwendung von Korrespondenztabellen die Bildfunktionen in den Zeitbereich:  d) F(s)=5/(s^2+9) e) F(s)=8/(s^2+4s+53) f) F(s)=5/(s-5)^3 4.3. Lösen Sie die nachfolgende Anfangswertaufgabe mit Hilfe der Laplacetransformation :  x..+5x.+6x=t x(0)=1; x.(0)=2 Lösung: x(t)=1/36(-5Ѳ(t)+6t+189e^(-2t)-148e^(-3t)) 5. Man löse die inhomogene Differentialgleichung mittels Variation der Konstanten: y' - 2y = x* e ^ 2x  Lösung: y=(1/2x^2+c)e^(2x) 6. Fourier - Reihen 6.1. Gegeben sind 3 Funktionen y = f(t) mit der Periodendauer T = 2π durch einen nur im Intervall [-π; π] zutreffenden Ausdruck. Fertigen Sie von allen drei Funktionen eine Skizze für den Bereich t ∈ [-3π ; 3π ] an : a) y = | t |+ t in [-π ; π ] T = 2π  b) y = t^2 in [-π ; π ] T = 2π  c) y = sin (t/2) in [-π ; π ] T = 2π  6.2. Bestimmen Sie für alle drei Funktionen den Gleichanteil a0/2 und tragen ihn in die Tabelle ein. Untersuchen Sie, ob die Koeffizienten der reellen Fourierreihe an (cos - Anteile) bzw. bn (sin - Anteile) Null sind, und vermerken das in der nachfolgenden Tabelle durch ja oder nein.  |
| Funktion in [-π;π] | a0/2=? | alle a1, a2..=0? | alle b1, b2..=0? |
| a) y=Betrag von t + t | π/2 | Nein | Nein |
| b) y=t^2 | π^2/3 | Nein | Ja |
| c)y=sin(t/2) | 0 | Ja | Nein |
| 6.3. Berechnen Sie für die unter a) gegebene Funktion die Koeffizienten a2 und b2 der reellen Fourierreihe für die 2. Harmonische (n = 2). Berechnen Sie aus a2 und b2 auch die Koeffizienten A2 und φ2 des Amplituden- und Phasenspektrums. Lösung: a2 = 0;b2 = -1 A2 = 1;φ2 = π |
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