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Tutorium Mathematik 2


Integralrechnung - Lösungen



6.1 Berechnen Sie folgende Integrale durch lineare Substitution:

a) ∫√(2x+b)dx
b) ∫sin(4t-ℓ)dt
c) ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2

Lösung:

a) ∫√(2x+b)dx
lineare Substitution:
z=2x+b
dz/dx=2 ->dx=dz/2

∫√(2x+b)dx = ∫√z dx/2= 3/2*z^(3/2)*1/2+C=1/3(2x+b)^3/2+C

b) ∫sin(4t-ℓ)dt
lineare Substitution:
z=4t-ℓ
dz/dt=4->dt=dz/4
∫sin(4t-ℓ)dt=∫sin(z)dz/4=-1/4cos(z)+C=-1/4cos(4t-ℓ)+C

c) ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2
lineare Substitution:
z=(3x-1)
dz/dx=3 -> dx=dz/3
∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2= ∫ (von x=1 bis x=2)1/z^2 dz/3=(-1/3*1/z)von x=1 bis x=2 = (-1/3*1/(3x-1) von x=1 bis x=2 = 1/10

6.2 Berechnen Sie die unbestimmten Integrale mit den angegebenen Methoden. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen klar erkennbar sein:

J=∫√(8x+17)^5dx
J=∫x^3ln(3x)dx
J=∫(2x-1)/x(x+3)^2

a) lineare Substitution
b) partielle Integration
c) Partialbruchzerlegung

Lösung:

a) ∫√(8x+17)^5dx
lineare Substitution:
z=8x+17
dz/dx=8 -> dx=dz/8
∫√(8x+17)^5dx=∫z^5/2dz/8=2/7*1/8*z^7/2+C=1/28√(8x+17)^7+C

b)∫x^3ln(3x)dx
partielle Integration: ∫u'*vdx=u*v-∫v' *udx
u'=x^3 u=1/4x^4
v=ln(3x) v'=1/x

∫x^3ln(3x)dx=ln(3x)*1/4x^4-∫1/x*1/4x^4=1/4x^4*ln(3x)-1/16x^4+C



6.3 Berechnen Sie die bestimmten Integrale mit linearer Substitution bzw. mit Partialbruchzerlegung

a) J=∫(von 0 bis π)sin(2t/3-π/2)dt
b) ∫(von 1 bis 2)(2x-1/((x+2)(x-4)))dx

Lösung:

a) ∫(von 0 bis π)sin (2t/3-π/2)dt
lineare Substitution:
z=2t/3-π/2
dz/dt=2/3 -> dt=3dz/2
∫(von 0 bis π)sin(2t/3-π/2)dt=∫(von t=0 bis t=π)sin(z)3/2dz=(-3/2cos(z))von t=0 bis t=π
=(-3/2cos(2t/3-π/2))von 0 bis π = -3/4√3 =rund -1,299

b) ∫(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx
Grad des Zählerpolynoms =1
Grad des Nennerpolynoms =2
-> echt gebrochen rationale Funktion

Nullstellen: x1=-2; x2=4
∫(von 1 bis 2) (2x-1)/((x+2)(x-4))dx=∫(von 1 bis 2)(A/(x+2)+B/(x-4)dx=∫(von 1 bis 2)(A(x-4)/(x+2)+B(x+2)/(x-4))dx
Zählervergleich: 2x-1=A(x-4)+B(x+2)
x1=-2
-5=-6A-> A=5/6
x2=4
7=6B -> B=7/6
∫(von 1 bis 2)(((5/6)/(x+2))+(7/6)/(x-4))dx=(5/6ln(Betrag von x+2)+7/6ln(Betrag von x-4)von 1 bis 2 =5/6ln(4/3)+7/6ln(2/3)=rund -0,2333


6.4 Berechnen Sie folgende Integrale ausführlich mit partieller Integration und Partialbruchzerlegung

a) J=∫x/((x-1)(x-4)^2)dx
b) J=∫(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx

Lösung:

a) J=∫x/((x-1)(x-4)^2)dx
Grad des Zählerpolynoms=1
Grad des Nennerpolynoms=3
-> echt gebrochen rationale Funktion

Nullstellen: x1=1; x2=4 ->mehrfach reelle Nullstelle

J=∫x/((x-1)(x-4)^2)dx=∫(A/(x-1)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx
=∫((A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1))/((x-1)(x-4)^2)dx

Zählervergleich: x=A(x-4)^2+B(x-1)(x-4)+C(x-1)
x1=1
1=9A -> A=1/9
x2=4
4=3C -> C=4/3
x^2: 0=A+B->B=-1/9
∫((1/9)/(x-1)+-(1/9)/(x-4)+(4/3)/(x-4)^2)dx=1/9ln(Betrag von x-1)-1/9ln(Betrag von x-4)-4/3*1/(x-4)+C
=1/9ln(Betrag von x-1/x-4)-4/3*1/(x-4)+C

b)J=∫(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx
partielle Integration: ∫u' *v dx= u*v-∫v' *u dx
u'=e^(2x+1)
u=1/2e^(2x+1)
v =x
v' =1
J=∫(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx=1/2e^(2x+1)*x-∫1/2e^(2x+1)
=((1/2x*e^(2x+1)x-1/4e^(2x+1))von 0 bis 2 = 3/4e^5+1/4e =rund 111,989

6.5 Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale durch Anwendung der partiellen Integration bzw. mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen in logischer Reihenfolge deutlich erkennbar sein:

a)∫(x^4+x^2)/((x+2)(x-4)^2)dx
b) ∫x^2ln(5x)dx

Lösung:

a)∫((x^4+x^2)/(x+2)(x-4)^2)dx=∫((x^4+x^2)/(x^3-6x^2+32))dx
Grad des Zählerpolynoms = 4
Grad des Nennerpolynoms = 3
-> unecht gebrochen rationale Funktion

Polynomdivision:
(x^4+x^2):(x^3-6x^2+32)=x+6+((37x^2-32x-192)/(x^3-6x^2+32))
-(x^4-6x^3+32x)
6x^3-32x+x^2
-(6x^3-36x^2+192)
37x^2-32x-192

J1=∫(x+6)dx=1/2x^2+6x
J2=∫(37x^2-32x-192/((x+2)(x-4)^2)dx=∫((A/(x+2)+B/(x-4)+C/(x-4)^2)dx
Nullstellen: x1=-2; x2=4 -> mehrfach reelle Nullstelle






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