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Tutorium Mathematik 2
Integralrechnung - Lösungen
| 6.1 Berechnen Sie folgende Integrale durch lineare Substitution: a) ∫√(2x+b)dx b) ∫sin(4t-ℓ)dt c) ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2 Lösung: a) ∫√(2x+b)dx lineare Substitution: z=2x+b dz/dx=2 ->dx=dz/2 ∫√(2x+b)dx = ∫√z dx/2= 3/2*z^(3/2)*1/2+C=1/3(2x+b)^3/2+C b) ∫sin(4t-ℓ)dt lineare Substitution: z=4t-ℓ dz/dt=4->dt=dz/4 ∫sin(4t-ℓ)dt=∫sin(z)dz/4=-1/4cos(z)+C=-1/4cos(4t-ℓ)+C c) ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2 lineare Substitution: z=(3x-1) dz/dx=3 -> dx=dz/3 ∫(von 1 bis 2) dx/(3x-1)^2= ∫ (von x=1 bis x=2)1/z^2 dz/3=(-1/3*1/z)von x=1 bis x=2 = (-1/3*1/(3x-1) von x=1 bis x=2 = 1/10 6.2 Berechnen Sie die unbestimmten Integrale mit den angegebenen Methoden. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen klar erkennbar sein: J=∫√(8x+17)^5dx J=∫x^3ln(3x)dx J=∫(2x-1)/x(x+3)^2 a) lineare Substitution b) partielle Integration c) Partialbruchzerlegung Lösung: a) ∫√(8x+17)^5dx lineare Substitution: z=8x+17 dz/dx=8 -> dx=dz/8 ∫√(8x+17)^5dx=∫z^5/2dz/8=2/7*1/8*z^7/2+C=1/28√(8x+17)^7+C b)∫x^3ln(3x)dx partielle Integration: ∫u'*vdx=u*v-∫v' *udx u'=x^3 u=1/4x^4 v=ln(3x) v'=1/x ∫x^3ln(3x)dx=ln(3x)*1/4x^4-∫1/x*1/4x^4=1/4x^4*ln(3x)-1/16x^4+C 6.3 Berechnen Sie die bestimmten Integrale mit linearer Substitution bzw. mit Partialbruchzerlegung a) J=∫(von 0 bis π)sin(2t/3-π/2)dt b) ∫(von 1 bis 2)(2x-1/((x+2)(x-4)))dx 6.4 Berechnen Sie folgende Integrale ausführlich mit partieller Integration und Partialbruchzerlegung a) J=∫x/((x-1)(x-4)^2)dx b) J=∫(von 0 bis 2)x*e^(2x+1)dx 6.5 Berechnen Sie die nachfolgenden Integrale durch Anwendung der partiellen Integration bzw. mit Hilfe der Partialbruchzerlegung. Alle dazu notwendigen Zwischenschritte müssen in logischer Reihenfolge deutlich erkennbar sein: a)∫(x^4+x^2)/((x+2)(x-4)^2)dx b) ∫x^2ln(5x)dx |
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