Tutorium Mathematische Grundlagen und Analysis
Gebrochenrationale Funktionen
| Aufgabe 1 Bestimmen Sie für die Funktion f(x) = (9-x^2)/(x^2+3) a) Definitionsbereich b) Nullstellen c) Verhalten im Unendlichen d) Extrempunkte und Art es Extrema Lösung a) Definitionsbereich Db.: x Reelle Zahlen (durch das Quadrat im Nenner wird alles positiv und auch wenn x = 0, wird Nenner nicht 0, da 3 vorhanden) b) Nullstellen (9-x^2)/(x^2+3) (Es reicht aus, sofort nur den Zähler = 0 zu setzen, da durch Multiplikation des Nenners mit null der Zähler wegfällt) 9 -x^2 = 0 9 = x^2 √9 = x1,2 x1= 3 x2 = -3 c) Verhalten im Unendlichen limx ->+-∞ (9-x^2)/(x^2+3)=limx^2(9/x^2-1)/x^2(1+2/x^2)=-1 d) Extrempunkte und Art des Extrema -> Ableitungen bilden f'(x) = -24x/(x^2+3)^2 f(x) =72x^2-72/(x^2+3^2) Extrema: f'(x) = 0 f(0) = -8/3 -> Maximum -24x = 0 x=0 f(0) = 3 HP(0,3) |
| Aufgabe 2 Bestimmen Sie für folgende Funktion f(x) = (2x-1)/x^2 a) Definitionsbereich b) Symmetrie c) Verhalten im Unendlichen d) Achsenschnittpunkte e) Extrempunkte und Art des Extrema f) Wendepunkte g) Wendetangente Lösung f(x) = (2x-1)/x^2 a) Definitionsbereich x Reelle Zahlen / b) Symmetrie f(x) = (2x-1)/x^2 f(-x) = 2(-x-1)/(-x^2)=-2x-1/x^2->f(x)≠ f(-x) -> keine Achsensymmetrie -f(x) = - ((2x-1)/x^2))≠ f(-x) -> keine Punktsymmetrie Erklärung auch einfacher möglich: Ist die Funktion gerade, liegt Achsensymmetrie vor Ist die Funktion ungerade, liegt Punktsymmetrie vor. Da die Funktion jeweils einen geraden und ungeraden Exponenten hat, liegt keine Symmetrie vor. c) Verhalten im Unendlichen limx->+-∞ (2x-1)/x^2=limx->+-∞ x(2-1/x)/x^2=limx->+-∞ 2/x = 0 Asymptote ist y= 0. d) Achsenschnittpunkte Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle): f(x) = 0 2x -1 = 0 x = 0,5 Sx(0,5;0) Schnittpunkt mit der y-Achse: x = 0 (2*0-1)/0^2 = n.l. -> x = 0 gehört nicht zum Definitionsbereich von f, d.h. der Graph von f hat keinen Schnittpunkt mit der y-Achse. e) Extrempunkt und Art des Extrema ->Ableitungen bilden f '(x) = (2-2x)/x^2 f (x) = (4x-6)/x^4 f '(x) = (24-12x)/x^5 Extrema: f '(x) = 0 f (1) = -2 -> Maximum 2-2x = 0 f(1) = 1 x = 1 HP(1,1) f) Wendepunkte f (x) = 0 f '(3/2)=0,79 ≠ 0 -> WP existiert 4x - 6 = 0 f(3/2)=8/9 4x = 6 x=3/2 WP(3/2;8/9) g) Wendetangente a) Anstieg: m = f '(x) m = f '(3/2)=-8/27 b) Gleichung: y = mx + n 8/9=-8/27*3/2+n n=4/3 y=-8/27x+4/3 |
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