Tutorium Statistik

2. Deskriptive Statistik

Grundbegriffe n: Umfang der Stichprobe xi: Merkmalsausprägungen hi: absolute Häufigkeit fi: relative Häufigkeit Hi: absolute Summenhäufigkeit Fi: relative Summenhäufigkeit Mo: Modus MF: Median ̄ X: Arithmetische Mittel G: Geometrische Mittel s^2: Varianz s =±√(s^2) R: Spannweite Formelsammlung: S. 46 – 51

Übungsaufgaben: (1) Die Untersuchung des Gewichtes von 20 korpulenten Katzen folgende Werte in kg: 5,3; 6,2; 5,8; 5,3; 5,8; 4,9; 5,3; 5,3; 5,8; 4,9 5,5; 6,1; 5,8; 4,8; 5,2; 5,3; 6,1; 4,9; 5,2; 5,3 a) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle, mit all den Ihnen bekannten Formen der Häufigkeit. b) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, Median und Modus. c) Ermitteln Sie die Streuung. d) Geben Sie die Spannweite der Untersuchung an.

Lösungen
a)

FS S.49 Häufigkeiten

xi	hi	fi	Hi	Fi
4,8	1	5,00%	1	5,00
4,9	3	15,00%	4	20,00%
5,2	2	10,00%	6	30,00%
5,3	6	30,00%	12	60,00%
5,5	1	5,00%	13	65,00%
5,8	4	20,00%	17	85,00%
6,1	2	10,00%	19	95,00%
6,2	1	5,00%	20	100,00%

b) Modus:…; Merkmalsausprägung mit größten absoluten bzw. relativen Häufigkeit Mo=5,3 , da h5,3=6 bzw. f5,3=30 % FS S.46 Modus Median:…; Merkmalsausprägung bei der die relative Summenhäufigkeit 50% überschreitet. Me=5,3 , da F5,3=60 % und F5,2=30 % FS S.46 Median arithmetisches Mittel: ̄ X =1/n*∑(von i=1bis k)xi*hi=∑(von i=1bis k)xi*fi ̄ X =1/20* ( 1 ∗4,8+ 3 ∗4,9 + 2∗4,9 + 6 ∗5,3+ 1 ∗5,5 + 4∗5,8+ 2 ∗6,1+ 1 ∗6,2) ̄ X =5,44 kg FS S.47 arithmetisches Mittel c) Streuung: s^2=1/(n-1)*((∑xi^2 wobei ∑ von i=1 bis k)-n* ̄X^2) ∑xi^2 wobei ∑ von i=1 bis k=4,8^2+3*4,9^2+2*4,9^2+6*5,3^2+5,5^2+5*5,8+2*6,1+6,2^2 ∑xi^2 wobei ∑ von i=1 bis k=595,36 s^2=1/19*(595,36-20*5,44^2) s^2=0,1836kg^2 s =±√ s^2 s =±0,4285 kg FS S.48 Stichprobenvarianz d) Spannweite: R= xmax− xmin R=6,2 − 4,8 R=1,4 kg FS S.47 Spannweite

(2) Bei einer Prüfung wurden folgende Punktzahlen erzielt: 7, 3, 4, 2, 8, 6, 5, 3, 7, 3, 7 Ermitteln Sie a) Die durchschnittliche Punktzahl mit Hilfe von Median und arithmetischen Mittel. b) Spannweite. c) Standardabweichung.

Lösung a) Median: Me=5 arithmetisches Mittel: ̄ X =5 kg b) Spannweite: R=6 Punkte c) Standardabweichung: 1. s =±2,1 Punkte 2. σ=±2 Punkte

(3) An der Kasse eines Lebensmittelmarktes wurden die Rechnungsbeträge der Kunden erfasst. Dabei ergab sich folgende Verteilung: 0 – 10 Euro: 16 10 – 20 Euro: 48 20 – 40 Euro: 27 40 – 80 Euro: 9 a) – c) Diese Teilaufgaben wurden in der Vorlesung nicht gelöst, da sie bereits Bestandteil der Vorlesung waren. d) Ermitteln Sie das arithmetische Mittel, Median und Modus. d) Modus:…; Klassenmitte der Klasse mit größten absoluten bzw. relativen Häufigkeit. Mo=15 , da h( 10−20)= 48 FS S.46 Modus Median:…; Klassenmitte der Klasse, in der die relative Summenhäufigkeit genau 50% beträgt oder zur Berechnung die folgende Formel. Me=xu+ (((50%-Fi(xu)))/((F(xo)-F(xu))))*(xo-xu) Me=10+((50%-16%)/(64%-16%))*(20-10) Me=17,083 FS S.46 Median arithmetisches Mittel: ̄̄X =1/n*∑xi'∗hi=∑xi'∗ fi wobei ∑von i=i bis k ̄ X =5 *0,16*15 *0,48 +30*0,27 +60*0,09 ̄ X =21,5 kg FS S.47 arithmetisches Mittel

(4) Eine Befragung von Studenten nach den monatlichen Ausgaben für Alkohol ergab folgendes Ergebnis: 30 – 40 Euro:10 fi in % 40 – 50 Euro:20 fi in % 50 – 60 Euro:20 fi in % 60 – 70 Euro:40 fi in % 70 – 80 Euro:10 fi in % Bestimmen Sie die durchschnittlichen Ausgaben. Lösung: Mo=65 € Me=55 € ̄ X =57 € FS S.46 Modus FS S.46 Median FS S.47 Arithmetisches Mittel

(5) Weitere Übungsaufgaben: Weitere Übungsaufgaben zu diesem Kapitel sind erhältlich im „share“-Ordner der Fakultät Wirtschaft im Unterordner „Statistik“. Mit Blick auf die Klausur wäre es hilfreich die Aufgaben zu üben in welchen das arithmetische Mittel sowie Streuungen im Mittelpunkt stehen, daman für die folgenden Kapitel in der Lage sein sollte, diesezu berechnen.

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